Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 826

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте график функции y = 2x² − 2 и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Парабола $$y = 2x^2$$ , сдвинутая на $$2$$ вниз. Ветви вверх ( $$a = 2 > 0$$ ), вершина $(0;\ -2)$ , нули $$2x^2 = 2$$ , $x = \pm 1$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$6$$	$$0$$	$$-2$$	$$0$$	$$6$$

Ветви вверх — наименьшее значение в вершине: $y_{\min} = -2$ ; наибольшего нет.

Ответ

наименьшее значение −2 (при x = 0)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Постройте график функции y = −x² + 1,5 и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Парабола $$y = -x^2$$ , сдвинутая на $$1{,}5$$ вверх. Ветви вниз, вершина $(0;\ 1{,}5)$ , нули $x = \pm\sqrt{1{,}5} \approx \pm 1{,}2$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$-2{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1{,}5$$	$$0{,}5$$	$$-2{,}5$$

Ветви вниз — наибольшее значение в вершине: $y_{\max} = 1{,}5$ ; наименьшего нет.

Ответ

наибольшее значение 1,5 (при x = 0)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Постройте график функции y = x² − 4x и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Ветви вверх. Вершина: $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$ , $$y_0 = 4 - 8 = -4$$ . Нули: $$x(x - 4) = 0$$ , $$x = 0$$ и $$x = 4$$ .

$$x$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$
$$y$$	$$5$$	$$0$$	$$-3$$	$$-4$$	$$-3$$	$$0$$	$$5$$

Наименьшее значение $$-4$$ (при $$x = 2$$ ).

Ответ

наименьшее значение −4 (при x = 2)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Постройте график функции y = 1,5x² + 6x и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Ветви вверх ( $$a = 1{,}5$$ ). Вершина: $x_0 = -\dfrac{6}{2 \cdot 1{,}5} = -2$ , $y_0 = 1{,}5 \cdot 4 - 12 = -6$ . Нули: $$1{,}5x(x + 4) = 0$$ , $$x = 0$$ и $$x = -4$$ .

$$x$$	$$-4$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$
$$y$$	$$0$$	$$-4{,}5$$	$$-6$$	$$-4{,}5$$	$$0$$

Наименьшее значение $$-6$$ (при $$x = -2$$ ).

Ответ

наименьшее значение −6 (при x = −2)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Постройте график функции y = x² + x − 6 и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Ветви вверх. Вершина: $x_0 = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$ , $y_0 = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25$ . Нули: $$x^2 + x - 6 = 0$$ , $$x_1 = -3$$ , $$x_2 = 2$$ . Ось $$y$$ — $(0;\ -6)$ .

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$0$$	$$-4$$	$$-6$$	$$-6{,}25$$	$$-6$$	$$-4$$	$$0$$

Наименьшее значение $$-6{,}25$$ (при $$x = -0{,}5$$ ).

Ответ

наименьшее значение −6,25 (при x = −0,5)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Постройте график функции y = 3x² − 6x + 5 и укажите её наименьшее (или наибольшее) значение.

Решение

Ветви вверх. Вершина: $x_0 = \dfrac{6}{6} = 1$ , $$y_0 = 3 - 6 + 5 = 2$$ . Дискриминант $$36 - 60 < 0$$ — нулей нет, парабола целиком выше оси $$x$$ . Ось $$y$$ — $(0;\ 5)$ .

$$x$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$y$$	$$14$$	$$5$$	$$2$$	$$5$$	$$14$$

Наименьшее значение $$2$$ (при $$x = 1$$ ).

Ответ

наименьшее значение 2 (при x = 1)

Почему так

Наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-826/