Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 165

Задача 1

Условие (кратко)

Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.

Решение

Дано: $$O$$ — середина $$AB$$ , прямая $$a$$ проходит через $$O$$ , $a \perp AB$ , $$M$$ — любая точка прямой $$a$$ . Доказать: $$MA = MB$$ .

Если $$M$$ совпадает с $$O$$ , то $$MA = OA = OB = MB$$ .
Пусть $$M$$ не совпадает с $$O$$ . Рассмотрим треугольники $$AOM$$ и $$BOM$$ : $$AO = BO$$ ( $$O$$ — середина $$AB$$ ), сторона $$OM$$ общая, $\angle AOM = \angle BOM = 90^\circ$ (так как $a \perp AB$ ).
По первому признаку $\triangle AOM = \triangle BOM$ , значит, соответствующие стороны равны: $$MA = MB$$ .

Ответ

Утверждение доказано, любая точка прямой a находится на равных расстояниях от A и B

Почему так

Точка прямой a, середина отрезка и его концы дают два треугольника, равных по двум сторонам и прямому углу между ними.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой a.

Решение

Дано: $$O$$ — середина $$AB$$ , $O \in a$ , $a \perp AB$ ; $$MA = MB$$ . Доказать: $$M$$ лежит на прямой $$a$$ .

Пусть $$M$$ лежит на прямой $$AB$$ . Точка вне отрезка $$AB$$ ближе к одному из концов, чем к другому, поэтому $$M$$ лежит на отрезке, и из $$MA = MB$$ следует, что $$M$$ — середина $$AB$$ , то есть $$M = O$$ — точка прямой $$a$$ .
Пусть $$M$$ не лежит на прямой $$AB$$ . Тогда $\triangle AMB$ равнобедренный с основанием $$AB$$ , а $$MO$$ — его медиана, проведённая к основанию.
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой, поэтому $MO \perp AB$ .
Через точку $$O$$ проходит только одна прямая, перпендикулярная к $$AB$$ : от луча $$OA$$ в одну полуплоскость откладывается только один угол в $90^\circ$ . Прямая $$a$$ тоже проходит через $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$ , значит, прямая $$MO$$ совпадает с $$a$$ , и точка $$M$$ лежит на $$a$$ .

Ответ

Утверждение доказано, все точки, равноудалённые от A и B, лежат на прямой a

Почему так

Равноудалённая точка — вершина равнобедренного треугольника, а его медиана к основанию является высотой, то есть лежит на перпендикуляре a.

Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-2/upr-165/