На рисунке точки D, B, C, E лежат на одной прямой в этом порядке, △ADE равнобедренный с основанием DE. Докажите, что если BD = CE, то ∠CAD = ∠BAE и AB = AC.
Решение
Дано: \(AD = AE\), точки \(D\), \(B\), \(C\), \(E\) лежат на прямой в этом порядке, \(BD = CE\). Доказать: \(\angle CAD = \angle BAE\), \(AB = AC\).
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle ADE = \angle AED\), то есть \(\angle ADB = \angle AEC\).
В треугольниках \(ADB\) и \(AEC\): \(AD = AE\), \(DB = EC\), \(\angle ADB = \angle AEC\). По первому признаку \(\triangle ADB = \triangle AEC\), откуда \(AB = AC\) и \(\angle DAB = \angle EAC\).
Точки \(B\) и \(C\) лежат на отрезке \(DE\), \(B\) — между \(D\) и \(C\), поэтому луч \(AB\) проходит внутри угла \(DAC\), а луч \(AC\) — внутри угла \(BAE\). Значит, \(\angle CAD = \angle DAB + \angle BAC\), \(\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE\).
Так как \(\angle DAB = \angle EAC\), правые части равны, и \(\angle CAD = \angle BAE\).
Ответ
Утверждение доказано, ∠CAD = ∠BAE и AB = AC
Почему так
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому треугольники ADB и AEC равны по первому признаку.
На рисунке точки D, B, C, E лежат на одной прямой в этом порядке, △ADE равнобедренный с основанием DE. Докажите, что если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE и AB = AC.
Решение
Дано: \(AD = AE\), точки \(D\), \(B\), \(C\), \(E\) лежат на прямой в этом порядке, \(\angle CAD = \angle BAE\). Доказать: \(BD = CE\), \(AB = AC\).
Луч \(AB\) лежит внутри угла \(DAC\), луч \(AC\) — внутри угла \(BAE\), поэтому \(\angle DAB = \angle CAD - \angle BAC\), \(\angle EAC = \angle BAE - \angle BAC\). Так как \(\angle CAD = \angle BAE\), получаем \(\angle DAB = \angle EAC\).
Углы при основании равнобедренного треугольника \(ADE\) равны: \(\angle ADB = \angle AEC\).
В треугольниках \(ADB\) и \(AEC\): \(AD = AE\), \(\angle DAB = \angle EAC\), \(\angle ADB = \angle AEC\). По второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) \(\triangle ADB = \triangle AEC\).
Из равенства треугольников \(BD = CE\) и \(AB = AC\).
Ответ
Утверждение доказано, BD = CE и AB = AC
Почему так
Вычитая общий угол BAC, получаем ∠DAB = ∠EAC, и треугольники ADB и AEC равны по второму признаку.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).