Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 309

Задача 1

Условие (кратко)

Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Докажите, что если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂.

Решение

Дано: $AH \perp a$ , $M_1, M_2 \in a$ , $$HM_1 = HM_2$$ . Доказать: $$AM_1 = AM_2$$ .

Треугольники $$AHM_1$$ и $$AHM_2$$ прямоугольные (угол $$H$$ прямой), катет $$AH$$ у них общий, катеты $$HM_1$$ и $$HM_2$$ равны по условию.

Значит, треугольники равны по двум катетам, и их гипотенузы равны: $$AM_1 = AM_2$$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники AHM₁ и AHM₂ равны по двум катетам

Почему так

Наклонные с равными проекциями — гипотенузы прямоугольных треугольников, равных по двум катетам.

Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Докажите, что если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.

Решение

Дано: $AH \perp a$ , $M_1, M_2 \in a$ , $$HM_1 < HM_2$$ . Доказать: $$AM_1 < AM_2$$ .

Пусть сначала $$M_1$$ и $$M_2$$ лежат по одну сторону от $$H$$ . Так как $$HM_1 < HM_2$$ , точка $$M_1$$ лежит между $$H$$ и $$M_2$$ .
Угол $$AM_1H$$ — острый угол прямоугольного $\triangle AHM_1$ . Смежный с ним угол $AM_1M_2 = 180^\circ - \angle AM_1H$ тупой.
В $\triangle AM_1M_2$ против тупого угла $$M_1$$ лежит наибольшая сторона, поэтому $$AM_2 > AM_1$$ .
Если $$M_1$$ и $$M_2$$ по разные стороны от $$H$$ , отложим на луче $$HM_2$$ точку $$M_1'$$ с $$HM_1' = HM_1$$ . По пункту а) $$AM_1' = AM_1$$ , а по доказанному $$AM_1' < AM_2$$ . Значит, $$AM_1 < AM_2$$ .

Ответ

Утверждение доказано, против тупого угла AM₁M₂ лежит большая сторона AM₂

Почему так

Наклонная с большей проекцией лежит против тупого угла, а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-4/upr-309/