Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 310

Задача 1

Условие (кратко)

Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Докажите, что если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂.

Решение

Дано: $AH \perp a$ , $M_1, M_2 \in a$ , $$AM_1 = AM_2$$ . Доказать: $$HM_1 = HM_2$$ .

Треугольники $$AHM_1$$ и $$AHM_2$$ прямоугольные с прямым углом $$H$$ . Гипотенузы $$AM_1$$ и $$AM_2$$ равны по условию, катет $$AH$$ общий.

Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету, и вторые катеты равны: $$HM_1 = HM_2$$ .

(Можно рассуждать и от противного, как в указании учебника: если $HM_1 \ne HM_2$ , то по задаче 309, б) наклонные были бы не равны.)

Ответ

Утверждение доказано, треугольники AHM₁ и AHM₂ равны по гипотенузе и катету

Почему так

Равные наклонные — равные гипотенузы прямоугольных треугольников с общим катетом AH.

Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Докажите, что если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.

Решение

Дано: $AH \perp a$ , $M_1, M_2 \in a$ , $$AM_1 < AM_2$$ . Доказать: $$HM_1 < HM_2$$ .

Докажем от противного. Пусть $HM_1 \ge HM_2$ .

Если $$HM_1 = HM_2$$ , то по задаче 309, а) $$AM_1 = AM_2$$ — противоречит условию.
Если $$HM_1 > HM_2$$ , то по задаче 309, б) (поменяв точки ролями) $$AM_1 > AM_2$$ — тоже противоречие.

Остаётся единственная возможность: $$HM_1 < HM_2$$ .

Ответ

Утверждение доказано методом от противного с опорой на задачу 309

Почему так

Обе другие возможности для проекций по задаче 309 дают наклонные, не удовлетворяющие условию AM₁ < AM₂.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-4/upr-310/