Задание 1

Как устроен узор. В большой окружности с центром \(O\) проведены два перпендикулярных диаметра. На каждом из четырёх радиусов (половин диаметров) лежат две маленькие окружности: они касаются друг друга, одна проходит через центр \(O\), другая касается большой окружности изнутри. Значит, диаметры двух маленьких окружностей вместе составляют радиус большой.

На каждом радиусе есть и средняя окружность: она проходит через центр \(O\) и касается большой окружности в конце этого радиуса, то есть её диаметр равен радиусу большой.

Радиусы.

Большая окружность: \(R = \dfrac{n}{2}\) см.

Средняя окружность (4 штуки): диаметр \(\dfrac{n}{2}\), радиус \(\dfrac{n}{4}\) см. Её центр — середина радиуса большой окружности.

Маленькая окружность (8 штук): два диаметра укладываются в радиус \(\dfrac{n}{2}\), поэтому диаметр \(\dfrac{n}{4}\), радиус \(\dfrac{n}{8}\) см. Центры — на расстоянии \(\dfrac{n}{8}\) и \(\dfrac{3n}{8}\) см от центра \(O\).

Проверка: средняя окружность касается обеих маленьких на своём радиусе изнутри — расстояние между центрами \(\dfrac{n}{4} - \dfrac{n}{8} = \dfrac{n}{8}\), это и есть разность радиусов.

Последовательность построений (циркуль и линейка).

1. Отметить центр \(O\) и провести большую окружность радиуса \(\dfrac{n}{2}\).
2. Провести диаметр \(AC\) и построить перпендикулярный ему диаметр \(BD\) (серединный перпендикуляр к \(AC\)). Окружность разделена на четыре радиуса \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\). На рисунке учебника диаметры проведены «наклонно», но это не важно — узор можно повернуть.
3. На каждом радиусе построить середину (\(K\) — середина \(OA\) и т. д.) — серединный перпендикуляр к отрезку.
4. Построить середины отрезков \(OK\) и \(KA\) на каждом радиусе — это центры маленьких окружностей.
5. Провести 8 маленьких окружностей радиуса \(\dfrac{n}{8}\) с центрами из шага 4. На каждом радиусе две окружности касаются в точке \(K\).
6. Провести 4 средние окружности радиуса \(\dfrac{n}{4}\) с центрами в серединах радиусов (точки \(K\)). Каждая проходит через \(O\) и касается большой окружности.
7. Выделить цветом узор. На каждом радиусе берётся «завиток»: половина средней окружности по одну сторону от радиуса (от \(O\) до конца радиуса), а затем обратно — половина внешней маленькой окружности по другую сторону и половина внутренней маленькой по ту же сторону, что и большая дуга. Две маленькие полуокружности образуют плавную S-образную линию, как в знаке «инь-ян». На всех четырёх радиусах завитки поворачивают в одну сторону, поэтому узор похож на вертушку.
8. Вспомогательные линии (диаметры, лишние половины окружностей) стереть или оставить тонкими.

Почему линии стыкуются плавно: окружности, которые касаются, имеют в точке касания общую касательную, поэтому дуга одной переходит в дугу другой без излома.

Как выполнить. Удобно взять \(n = 8\) см (или \(n = 16\) см для крупного узора), чтобы радиусы выражались целыми числами.

При \(n = 8\) см: большая окружность — радиус 4 см, средние — 2 см, маленькие — 1 см. Центры маленьких окружностей — на расстоянии 1 см и 3 см от центра по каждому из двух перпендикулярных диаметров, центры средних — на расстоянии 2 см.

Построения ведут по плану из вопроса 2 сначала тонко карандашом, затем нужные дуги обводят цветом.

Что должно получиться. Четыре одинаковых завитка, закрученных в одну сторону; соседние завитки получаются друг из друга поворотом на \(90^\circ\) вокруг центра. Все маленькие окружности на каждом радиусе касаются друг друга, средних окружностей и большой окружности без зазоров. Если где-то зазор или пересечение — неточно найдены середины радиусов.

Ответ свободный. Главное — узор должен строиться циркулем и линейкой и радиусы окружностей должны выражаться через размер большой окружности.

Пример 1. Вертушка из трёх или шести завитков. Радиусом большой окружности (как хордой) окружность делится на 6 равных частей. Проведя радиусы в точки деления через одну, получим три радиуса под углом \(120^\circ\); на каждом строим те же окружности радиусов \(\dfrac{n}{4}\) и \(\dfrac{n}{8}\), что в исходном узоре. Взяв все шесть радиусов — получим шесть завитков (окружности соседних завитков будут пересекаться — это тоже красиво).

Пример 2. Три окружности на диаметре. Если диаметр \(n\) разделить на 3 равные части, на нём поместятся три касающиеся окружности радиуса \(\dfrac{n}{6}\). Повторив это на двух перпендикулярных диаметрах, получим узор из 5 малых окружностей (центральная общая) радиуса \(\dfrac{n}{6}\); центральная окружность касается четырёх внешних, а внешние касаются большой окружности изнутри (расстояние от \(O\) до их центров \(\dfrac{n}{3} = \dfrac{n}{2} - \dfrac{n}{6}\)).

Пример 3. «Цветок». Окружность радиуса \(r\), затем шесть окружностей того же радиуса с центрами в точках деления первой на 6 частей. Каждая проходит через центр, получается шестилепестковая розетка.

Для своего узора полезно указать радиусы всех окружностей и порядок построения — как в вопросах 1 и 2.