Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 20 см, а угол при основании 30°.
Решение
Дано
\(\triangle ABC\)
\(AB = BC = 20\) см
\(\angle A = \angle C = 30^\circ\)
Найти
\(S\)
Проведём высоту \(BH\). В прямоугольном \(\triangle ABH\) катет \(BH\) лежит против угла \(30^\circ\), значит, он равен половине гипотенузы: \(BH = 10\) см.
По теореме Пифагора \(AH = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\) см. Высота равнобедренного треугольника — медиана, поэтому \(AC = 2AH = 20\sqrt{3}\) см.
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол 45°.
Решение
Дано
\(\triangle ABC\)
\(AB = AC\)
\(BC\) — основание
\(CH \perp AB\)
\(CH = 6\) см
\(\angle HCB = 45^\circ\)
Найти
\(S\)
В прямоугольном \(\triangle BHC\)\(\angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Углы при основании равны: \(\angle C = 45^\circ\), тогда \(\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\).
Угол \(A\) прямой, поэтому \(CA \perp AB\) и высота из \(C\) к прямой \(AB\) — это сам катет \(CA\): \(H\) совпадает с \(A\), \(AC = 6\) см, \(AB = AC = 6\) см.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).