а) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 219) изображён квадрат с вершинами в узлах (0; 3), (3; 6), (6; 3), (3; 0) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Диагонали квадрата идут по линиям сетки, каждая равна 6 см. Они перпендикулярны и делят квадрат на 4 прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 3 см.
\(S = 4 \cdot \dfrac{3 \cdot 3}{2} = 18\) см².
Ответ
18 см²
Почему так
Квадрат складывается из четырёх прямоугольных треугольников, на которые его делят диагонали.
б) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 219) изображён четырёхугольник с вершинами в узлах (0; 1), (2; 6), (8; 5), (6; 0) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Достроим фигуру до прямоугольника \(8 \times 6\) со сторонами по линиям сетки.
Площадь прямоугольника \(8 \cdot 6 = 48\) см².
В углах остаются 4 прямоугольных треугольника: два с катетами 2 и 5 (по 5 см²) и два с катетами 6 и 1 (по 3 см²). Всего \(5 + 5 + 3 + 3 = 16\) см².
\(S = 48 - 16 = 32\) см².
Ответ
32 см²
Почему так
Площадь многоугольника на клетчатой бумаге удобно находить вычитанием из описанного прямоугольника.
в) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 219) изображён четырёхугольник с вершинами в узлах (0; 6), (6; 6), (8; 0), (5; 0) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Две стороны идут по горизонтальным линиям сетки, значит, они параллельны: фигура — трапеция с основаниями 6 см и 3 см. Высота — расстояние между этими линиями — 6 см.
\(S = \dfrac{6 + 3}{2} \cdot 6 = 27\) см².
Ответ
27 см²
Почему так
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
г) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 219) изображён четырёхугольник с вершинами в узлах (0; 3), (3; 5), (8; 4), (2; 0) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Достроим фигуру до прямоугольника \(8 \times 5\) со сторонами по линиям сетки.
Площадь прямоугольника \(8 \cdot 5 = 40\) см².
Лишние прямоугольные треугольники в углах: с катетами 3 и 2 — 3 см², с катетами 5 и 1 — 2,5 см², с катетами 6 и 4 — 12 см², с катетами 2 и 3 — 3 см². Всего 20,5 см².
\(S = 40 - 20{,}5 = 19{,}5\) см².
Ответ
19,5 см²
Почему так
Из площади описанного прямоугольника вычитаем площади угловых прямоугольных треугольников.
д) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 219) изображён шестиугольник с вершинами в узлах (0; 6), (3; 5), (7; 6), (9; 0), (4; 4), (1; 1) — координаты в клетках, по порядку обхода. Найдите его площадь.
Решение
Достроим фигуру до прямоугольника \(9 \times 6\) со сторонами по линиям сетки.
Площадь прямоугольника \(9 \cdot 6 = 54\) см².
Сверху лишний треугольник с вершинами (0; 6), (3; 5), (7; 6): основание 7 по верхней линии, высота 1, площадь 3,5 см².
Справа — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 6: 6 см².
Снизу лишняя часть под ломаной (0; 6) — (1; 1) — (4; 4) — (9; 0). Разрежем её вертикальными линиями на трапецию с основаниями 6 и 1 и высотой 1 (3,5 см²), трапецию с основаниями 1 и 4 и высотой 3 (7,5 см²) и прямоугольный треугольник с катетами 5 и 4 (10 см²). Всего 21 см².
\(S = 54 - 3{,}5 - 6 - 21 = 23{,}5\) см².
Ответ
23,5 см²
Почему так
Сложную фигуру дополняем до прямоугольника, а лишние части режем на треугольники и трапеции.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).