Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 719

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ = BM/B₁M₁, где BM и B₁M₁ — медианы треугольников.

Решение

Дано: $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BM}{B_1M_1} = k$ . Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

$$M$$ и $$M_1$$ — середины $$AC$$ и $$A_1C_1$$ , поэтому $\dfrac{AM}{A_1M_1} = \dfrac{AC/2}{A_1C_1/2} = k$ .
В треугольниках $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ все три стороны пропорциональны: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AM}{A_1M_1} = \dfrac{BM}{B_1M_1} = k$ . По третьему признаку $\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$ , значит, $\angle A = \angle A_1$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $\angle A = \angle A_1$ и $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ . По второму признаку они подобны.

Ответ

Утверждение доказано: △ABC ∼ △A₁B₁C₁

Почему так

Сначала по третьему признаку подобны треугольники ABM и A₁B₁M₁, это даёт равенство углов A и A₁, затем работает второй признак.

Подробнее — в теме «Третий признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если ∠A = ∠A₁ и AC/A₁C₁ = BH/B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты треугольников.

Решение

Дано: $\angle A = \angle A_1$ , $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, $\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BH}{B_1H_1}$ . Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

Если $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$ , то $$H = A$$ , $$H_1 = A_1$$ , и $$BH = AB$$ , $$B_1H_1 = A_1B_1$$ . Сразу переходим к шагу 3.
Иначе рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$ . Их острые углы при вершинах $$A$$ и $$A_1$$ равны: это $\angle A$ и $\angle A_1$ (если углы острые) или смежные с ними $180^\circ - \angle A$ и $180^\circ - \angle A_1$ (если тупые, тогда $$H$$ лежит на продолжении $$CA$$ ). По первому признаку $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$ , поэтому $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BH}{B_1H_1}$ .
Получили $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BH}{B_1H_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$ . По второму признаку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано: △ABC ∼ △A₁B₁C₁

Почему так

Подобие прямоугольных треугольников ABH и A₁B₁H₁ даёт пропорциональность сторон AB и A₁B₁, дальше — второй признак.

Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-8/upr-719/