Задание 802

Дано: окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\), прямая \(m\) через \(A\) пересекает их в точках \(C\) и \(D\) (\(A\) между \(C\) и \(D\)), \(KC\) и \(KD\) — касательные. Доказать: \(\angle CKD\) не зависит от \(m\).

1. Угол между касательной \(KC\) и хордой \(CA\) измеряется половиной дуги \(CA\), заключённой внутри него. Вписанный угол \(CBA\) опирается на ту же дугу, поэтому \(\angle KCD = \angle KCA = \angle CBA\).

2. Точно так же во второй окружности \(\angle KDC = \angle KDA = \angle DBA\).

3. Точка \(A\) лежит на отрезке \(CD\), то есть внутри угла \(CBD\), поэтому \(\angle CBA + \angle ABD = \angle CBD\). Значит, \(\angle KCD + \angle KDC = \angle CBD\).

4. Из треугольника \(CKD\): \(\angle CKD = 180^\circ - (\angle KCD + \angle KDC) = 180^\circ - \angle CBD\). По задаче 801 угол \(CBD\) не зависит от прямой \(m\), значит, и \(\angle CKD\) не зависит.

Дано: то же, что в пункте а). Доказать: около четырёхугольника \(BCKD\) можно описать окружность.

1. В пункте а) получено \(\angle CKD = 180^\circ - \angle CBD\), то есть \(\angle CKD + \angle CBD = 180^\circ\).

2. Точки \(K\) и \(B\) лежат по разные стороны от прямой \(CD\), поэтому \(\angle CKD\) и \(\angle CBD\) — противоположные углы четырёхугольника \(BCKD\).

3. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность (задача 810). Значит, \(BCKD\) можно вписать в окружность.