Задание 4

Да, получится для любого треугольника, если правильно выбрать основание и линии сгибов.

1. Основанием берём наибольшую сторону, пусть \(AC\). Тогда углы \(A\) и \(C\) острые (в треугольнике только один угол может быть прямым или тупым, и он лежит против наибольшей стороны), и основание \(H\) высоты \(BH\) лежит на отрезке \(AC\).
2. Первый сгиб — по средней линии \(MN\) (\(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(BC\)). Вершина \(B\) ложится точно в точку \(H\).
3. Второй и третий сгибы — по перпендикулярам \(MP\) и \(NQ\) из концов средней линии к основанию. Вершины \(A\) и \(C\) ложатся в ту же точку \(H\).

Углы \(A\), \(B\), \(C\) сходятся в точке \(H\) и вместе заполняют развёрнутый угол с вершиной \(H\) на прямой \(AC\). Почему так выходит — в вопросах 3 и 4.

Первый сгиб должен идти по средней линии треугольника — через середины боковых сторон \(AB\) и \(BC\), параллельно основанию \(AC\). Только тогда вершина \(B\) ложится в основание \(H\) высоты \(BH\):

• средняя линия параллельна \(AC\), а высота \(BH\) ей перпендикулярна, поэтому при перегибе \(B\) движется по прямой \(BH\);
• средняя линия делит высоту пополам (она проходит через середины \(AB\) и \(BC\), а значит, по теореме Фалеса, и через середину \(BH\)), поэтому \(B\) попадает ровно в \(H\).

Если сгиб не параллелен основанию или проходит не через середины сторон, вершина \(B\) ложится на \(AC\) в другую точку. Две оставшиеся вершины сводятся сгибами только в точку \(H\) (см. вопрос 3), поэтому совместить их с \(B\) не удаётся.

Ещё одно условие: основанием надо брать наибольшую сторону. Если в тупоугольном треугольнике взять за основание сторону, прилежащую к тупому углу, основание высоты окажется вне стороны, и угол упадёт за край бумаги.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AC\) — наибольшая сторона, \(BH\) — высота, \(M\) — середина \(AB\); после сгиба по средней линии вершина \(B\) легла в \(H\). Второй сгиб — по перпендикуляру \(MP\) к \(AC\). Доказать: при этом сгибе вершина \(A\) попадает в \(H\).

1. В прямоугольном треугольнике \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)) отрезок \(HM\) — медиана, проведённая к гипотенузе \(AB\), она равна половине гипотенузы: \(MH = MA = MB\). (Иначе: при первом сгибе \(B\) перешла в \(H\), а расстояния при перегибе сохраняются, поэтому \(MH = MB = MA\).)
2. Треугольник \(AMH\) равнобедренный, \(MA = MH\). Его высота \(MP\) является и медианой, и осью симметрии: \(P\) — середина \(AH\).
3. Сгиб по прямой \(MP\) — это симметрия относительно этой прямой. Точка \(A\) переходит в симметричную ей точку \(H\).

Так же сгиб по перпендикуляру \(NQ\) из середины \(N\) стороны \(BC\) переносит \(C\) в \(H\). Поэтому при сгибе вершина \(A\) совмещается с вершиной \(B\), уже лежащей в точке \(H\), — как на рисунке 429 (3).

После всех сгибов модель имеет форму четырёхугольника \(MNQP\).

1. \(MN \parallel AC\) (средняя линия), значит, \(MN \parallel PQ\).
2. \(MP \perp AC\) и \(NQ \perp AC\), значит, \(MP \parallel NQ\).
3. Противоположные стороны попарно параллельны — \(MNQP\) параллелограмм, а угол \(P\) у него прямой. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Его размеры: \(MN = \dfrac{AC}{2}\) (средняя линия), \(MP = NQ = \dfrac{BH}{2}\) (средняя линия делит высоту пополам). Площадь прямоугольника \(\dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{BH}{2}\) — половина площади треугольника, ведь бумага сложена в два слоя.

Основание — гипотенуза \(AB\) (наибольшая сторона). Оба острых угла прилегают к ней, высота \(CH\) падает внутрь гипотенузы, и всё идёт как в общем случае: сгиб по средней линии переносит \(C\) в \(H\), два перпендикуляра из концов средней линии переносят \(A\) и \(B\) в \(H\). Получается прямоугольник.

Основание — катет \(AC\). Высота из вершины \(B\) — это катет \(BC\), её основание \(H\) совпадает с вершиной \(C\). Тогда:

1. сгиб по средней линии, параллельной \(AC\), переносит \(B\) в \(C\);
2. перпендикуляр к \(AC\) из середины \(AB\) попадает в середину \(AC\), и сгиб по нему переносит \(A\) в \(C\);
3. третий сгиб не нужен: прямой угол \(C\) уже стоит на месте.

В точке \(C\) сходятся прямой угол \(C\) и углы \(A\) и \(B\), вместе \(180^\circ\). Модель — прямоугольник со сторонами \(\dfrac{AC}{2}\) и \(\dfrac{BC}{2}\), у которого один край — часть исходного катета \(BC\).

Рассуждение даже упрощается: один угол уже прямой, и равенство \(\angle A + \angle B = 90^\circ\) видно сразу.

Как выполнить (инструкция для одноклассников):

1. Вырежьте из бумаги треугольник любой формы. Найдите его самую длинную сторону и положите треугольник на стол этой стороной вниз — это основание.
2. Перегните треугольник так, чтобы верхняя вершина легла на основание, а линия сгиба была параллельна основанию. Проверьте: сгиб должен пройти через середины двух боковых сторон (их можно найти, сложив сторону пополам). Вершина ляжет на основание в точку \(H\) — основание высоты.
3. Не разгибая, перегните левый угол треугольника так, чтобы линия сгиба шла от левого конца первого сгиба перпендикулярно основанию. Левая вершина ляжет в точку \(H\).
4. Так же перегните правый угол — вершина тоже ляжет в \(H\).
5. Посмотрите на точку \(H\): три угла треугольника сходятся в ней без наложений и без щелей и вместе образуют развёрнутый угол — прямую линию основания.

Что должно получиться: прямоугольник в два слоя, у которого нижняя сторона — половина основания, а в её середине (в точке \(H\)) сходятся три вершины.

Модель показывает, что три угла треугольника, сложенные вместе вершинами в одну точку, образуют развёрнутый угол.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\), \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).

Перегибание бумаги само по себе не доказательство (оно проверяет одну модель с погрешностью складывания), но идея превращается в доказательство: средняя линия параллельна основанию и делит высоту пополам, а перегиб — это симметрия, сохраняющая углы (вопросы 3 и 4).

Ответ свободный; главное — проверить найденную информацию, прежде чем рассказывать её другим.

Возможные цели Виктора:

1. Проверить, что способ действительно работает, — сведения из Интернета бывают неточными или неполными.
2. Разобраться в способе самому, чтобы объяснить его одноклассникам и ответить на их вопросы.
3. Найти условия, при которых способ работает. Именно при самостоятельной проверке Виктор обнаружил, что важно, как делать первый сгиб (по средней линии) и какую сторону брать за основание (наибольшую). Без проверки он рассказал бы неполный способ, и у одноклассников модель не сложилась бы.
4. Подготовить инструкцию для класса (вопрос 6).