Задача 1
Условие (кратко)
Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.
Решение
Дано: окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются обеих сторон угла \(O\) и имеют общую касательную \(t\) в точке \(A\). Доказать: \(O_1\) и \(O_2\) лежат на прямой \(OA\).
- Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от сторон (расстояния равны радиусу), поэтому лежит на биссектрисе угла \(O\). Значит, \(O_1\) и \(O_2\) лежат на биссектрисе \(l\).
- Радиусы \(O_1A\) и \(O_2A\) перпендикулярны касательной \(t\) в точке \(A\). Через точку \(A\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(t\), поэтому \(O_1\), \(A\), \(O_2\) лежат на одной прямой.
- Центры различны (окружности с общим центром и общей точкой \(A\) совпали бы), поэтому прямая \(O_1O_2\) — это биссектриса \(l\), и точка \(A\) лежит на \(l\).
- Вершина \(O\) тоже лежит на \(l\) и не совпадает с \(A\), значит, \(l\) — прямая \(OA\), и центры \(O_1\), \(O_2\) лежат на ней.
Ответ
Утверждение доказано — центры лежат на биссектрисе угла, которая проходит через A
Почему так
Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе, а линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания.
Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».