Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 81

Упражнение 783 к § 81

§ 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими · тема: Углы, образованные хордами, касательными и секущими

Задача 1

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, а) B — крайняя правая точка окружности с центром O, A и C — точки окружности на 2 клетки ниже O и на 2 клетки левее и правее. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

$$A$$ и $$C$$ смещены от $$O$$ на 2 клетки вниз и на 2 клетки в стороны
$$B$$ — крайняя правая точка

Найти

$\angle ABC$

Радиусы $$OA$$ и $$OC$$ идут по диагоналям клеток, а диагональ клетки образует с вертикалью угол $45^\circ$ , поэтому $\angle AOC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ , и дуга $$AC$$ , не содержащая $$B$$ , равна $90^\circ$ .
Угол $$ABC$$ вписанный и опирается на эту дугу: $\angle ABC = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 45°

Почему так

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задача 2

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, б) B — верхняя точка окружности с центром O, A и C — точки окружности на 3 клетки ниже O и на 3 клетки левее и правее. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

$$A$$ и $$C$$ смещены от $$O$$ на 3 клетки вниз и на 3 клетки в стороны

Найти

$\angle ABC$

Радиусы $$OA$$ и $$OC$$ идут по диагоналям клеток, каждый образует с вертикалью $45^\circ$ , поэтому $\angle AOC = 90^\circ$ и нижняя дуга $$AC$$ равна $90^\circ$ .
Вписанный угол $$ABC$$ опирается на эту дугу: $\angle ABC = 45^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 45°

Почему так

Вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задача 3

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, в) радиус окружности 4 клетки, A — верхняя точка, хорда BC горизонтальна и проходит на 2 клетки ниже центра O. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

$$R = 4$$ клетки
$$A$$ — верхняя точка
расстояние от $$O$$ до хорды $$BC$$ равно 2 клеткам

Найти

$\angle ABC$

Пусть $$H$$ — середина $$BC$$ , $OH \perp BC$ , $$OH = 2$$ , $$OC = 4$$ . Катет $$OH$$ равен половине гипотенузы, поэтому $\angle OCH = 30^\circ$ и $\angle HOC = 60^\circ$ .
Луч $$OA$$ направлен вверх, луч $$OH$$ — вниз, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Дуга $$AC$$ , не содержащая $$B$$ , равна $120^\circ$ .
Вписанный угол $$ABC$$ опирается на неё: $\angle ABC = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 60°

Почему так

Центральный угол AOC находят из прямоугольного треугольника, вписанный угол равен его половине.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задача 4

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, г) B — нижняя точка окружности с центром O, A и C — точки окружности на 3 клетки ниже O и на 3 клетки левее и правее. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

$$A$$ и $$C$$ смещены от $$O$$ на 3 клетки вниз и в стороны
$$B$$ — нижняя точка

Найти

$\angle ABC$

Как в пункте б), $\angle AOC = 90^\circ$ , нижняя дуга $$AC$$ равна $90^\circ$ . Точка $$B$$ лежит на ней.
Угол $$ABC$$ опирается на дугу $$AC$$ , не содержащую $$B$$ , — верхнюю: $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$ .
$\angle ABC = \dfrac{270^\circ}{2} = 135^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 135°

Почему так

Вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину, и равен её половине.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задача 5

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, д) B — нижняя точка окружности с центром O, BC — касательная по линии сетки, A — крайняя правая точка окружности на одной горизонтали с O. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

$$BC$$ — касательная в нижней точке $$B$$
$$OA$$ горизонтален

Найти

$\angle ABC$

$$OB$$ направлен вниз, $$OA$$ — вправо, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$ и дуга $$AB$$ внутри угла $$ABC$$ равна $90^\circ$ .
Угол между касательной и хордой равен половине дуги внутри угла: $\angle ABC = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 45°

Почему так

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Задача 6

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, е) хорды пересекаются в точке B на 2 клетки ниже центра O; хорда BC идёт по горизонтальной линии сетки, хорда через A — по диагоналям клеток. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

луч $$BC$$ идёт по линии сетки вправо
луч $$BA$$ — по диагоналям клеток вправо-вверх

Найти

$\angle ABC$

Луч $$BA$$ проходит через противоположные вершины клеток. Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам, поэтому она образует со стороной клетки угол $45^\circ$ . Значит, $\angle ABC = 45^\circ$ . Дуги, заключённые между хордами, здесь не выражаются целым числом градусов, поэтому удобнее считать по сетке.

Ответ

∠ABC = 45°

Почему так

Диагональ клетки образует с её стороной угол 45°.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Задача 7

Условие (кратко)

На клетчатой бумаге (рис. 267, ж) из точки B вне окружности проведены секущие — BC по горизонтальной линии сетки и BA по диагоналям клеток. Найдите ∠ABC.

Решение

Дано

секущая $$BC$$ идёт по линии сетки
секущая $$BA$$ — по диагоналям клеток

Найти

$\angle ABC$

Луч $$BA$$ проходит через противоположные вершины клеток, а диагональ квадрата образует с его стороной угол $45^\circ$ . Луч $$BC$$ идёт вдоль стороны клеток, поэтому $\angle ABC = 45^\circ$ .

Проверка по дугам: радиус равен 4 клеткам, $$A$$ — верхняя точка окружности, секущая $$BA$$ пересекает окружность ещё в её крайней правой точке, а секущая $$BC$$ проходит на 2 клетки ниже центра. Дальняя дуга между секущими равна $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ , ближняя — $30^\circ$ (катет 2 против угла $30^\circ$ при гипотенузе 4), и $\angle ABC = \dfrac{120^\circ - 30^\circ}{2} = 45^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 45°

Почему так

Диагональ клетки образует с её стороной угол 45°.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Похожие задачи для тренировки