Задача 1
Докажите, что если векторы m и n сонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, а если они противоположно направлены и |m| ≥ |n|, то |m + n| = |m| − |n|.
Решение
Дано: \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) — ненулевые векторы (если один из них нулевой, оба равенства очевидны). Доказать: при \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\) верно \(|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|\); при \(\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}\) и \(|\vec{m}| \geqslant |\vec{n}|\) верно \(|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|\).
От произвольной точки \(A\) отложим \(\overrightarrow{AB} = \vec{m}\), от точки \(B\) отложим \(\overrightarrow{BC} = \vec{n}\). По правилу треугольника \(\overrightarrow{AC} = \vec{m} + \vec{n}\), поэтому \(|\vec{m} + \vec{n}| = AC\).
-
Векторы сонаправлены. Тогда лучи \(AB\) и \(BC\) направлены одинаково, точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, и точка \(B\) лежит между \(A\) и \(C\). Значит, \(AC = AB + BC = |\vec{m}| + |\vec{n}|\).
-
Векторы противоположно направлены. Тогда из точки \(B\) мы идём обратно, в сторону точки \(A\), на расстояние \(BC = |\vec{n}| \leqslant |\vec{m}| = AB\). Поэтому точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), и \(AC = AB - BC = |\vec{m}| - |\vec{n}|\).
Ответ
Сумму строим по правилу треугольника; для коллинеарных векторов все три точки лежат на одной прямой, и длины просто складываются или вычитаются.
Подробнее — в теме «Сложение векторов».