Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы сложить векторы, второй вектор откладывают от конца первого: сумма идёт из начала первого в конец второго (правило треугольника). Для векторов, отложенных от одной точки, сумма — диагональ параллелограмма.
Подробное объяснение
Представьте, что вы прошли от дома \(A\) до магазина \(B\), а потом от магазина до школы \(C\). Где бы вы ни петляли, в итоге вы переместились из \(A\) в \(C\). Перемещение \(\overrightarrow{AC}\) складывается из двух перемещений, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Так и определяют сумму векторов.
Правило треугольника
Чтобы сложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
- от любой точки \(A\) отложите вектор \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\);
- от его конца \(B\) отложите вектор \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\);
- вектор \(\overrightarrow{AC}\) — это сумма \(\vec{a} + \vec{b}\).
Выбор точки \(A\) не важен: от другой точки получится вектор, равный \(\overrightarrow{AC}\) (четырёхугольники из равных векторов оказываются параллелограммами). Для любых точек \(A\), \(B\), \(C\), даже совпадающих, верно \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Прибавление нулевого вектора ничего не меняет, \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\).
Законы сложения
Как и для чисел, для векторов верны:
- переместительный закон: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\);
- сочетательный закон: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\).
Первый легко увидеть на параллелограмме \(ABCD\): по правилу треугольника \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \vec{b} + \vec{a}\). Второй — если отложить три вектора друг за другом: при любой расстановке скобок получится вектор из начала первого в конец третьего.
Правило параллелограмма
Если неколлинеарные векторы удобно откладывать от одной точки, отложите \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) и достройте параллелограмм \(ABCD\). Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}\) — диагональ, выходящая из общего начала. Так в физике складывают силы и скорости.
Правило многоугольника
Несколько векторов складывают по очереди. Удобнее всего отложить их «цепочкой»: каждый следующий — от конца предыдущего. Сумма — вектор из начала первого в конец последнего:
Порядок слагаемых при этом не важен. Если цепочка замкнулась (конец последнего совпал с началом первого), сумма равна нулевому вектору, например \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}\).
Длина суммы
Длина суммы обычно не равна сумме длин. Стороны треугольника \(ABC\) подчиняются неравенству треугольника, поэтому для неколлинеарных векторов \(|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Равенство бывает только у сонаправленных векторов. У противоположно направленных длина суммы равна разности длин, а направлена сумма как более длинный вектор.
Как решать задачи
- Посмотрите, как стоят векторы: «цепочкой» (конец одного — начало другого) или из одной точки.
- Цепочку сворачивайте правилом треугольника или многоугольника: начало первого → конец последнего.
- Из одной точки — достройте параллелограмм, сумма — его диагональ из общего начала.
- Если вектор «не стыкуется», замените его равным: в параллелограмме \(ABCD\) \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).
- Длину суммы ищите как длину отрезка — теоремой Пифагора, свойствами треугольников и параллелограммов.
Разобранные примеры
Упростить сумму векторов
Упростите выражение \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MN}) + (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{NK})\).
Порядок слагаемых можно менять. Расставим их цепочкой: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NK}\). Каждый вектор начинается там, где закончился предыдущий, поэтому по правилу многоугольника сумма — от \(A\) до \(K\).
Длина суммы в прямоугольнике
В прямоугольнике \(ABCD\) стороны \(AB = 8\) см, \(AD = 6\) см. Найдите \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|\) и \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}|\).
По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\), а \(AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\) см.
По правилу многоугольника \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\), его длина 6 см.
Две силы под углом 60°
Лодку тянут за две верёвки с силами по 30 Н. Угол между верёвками \(60^\circ\). Найдите модуль равнодействующей силы.
Отложим силы от точки \(A\): \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), \(AB = AD = 30\), \(\angle BAD = 60^\circ\). Параллелограмм \(ABCD\) — ромб, равнодействующая — диагональ \(\overrightarrow{AC}\).
Треугольник \(ABD\) равносторонний, \(BD = 30\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: \(BO = 15\), \(AO = \sqrt{30^2 - 15^2} = 15\sqrt{3}\). Значит, \(AC = 30\sqrt{3} \approx 52\) Н.
Типичные ошибки
Сумма векторов — третья сторона треугольника, а она короче суммы двух других сторон. Две силы по 30 Н под углом \(60^\circ\) дают около 52 Н, а не 60 Н.
Длину суммы находят из построения: треугольника или параллелограмма. Просто сложить длины можно только для сонаправленных векторов.
Если оба вектора отложены от точки \(A\), отрезок между их концами \(B\) и \(D\) — вторая диагональ параллелограмма. Она связана с разностью векторов, а не с суммой.
В правиле треугольника второй вектор откладывают от конца первого. В правиле параллелограмма сумма — диагональ, выходящая из общего начала векторов.
Пишут \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\), перепутав начало и конец. Вектор \(\overrightarrow{CA}\) противоположен сумме.
Сумма начинается в начале первого вектора и кончается в конце последнего: из \(A\) в \(C\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равна сумма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)?
Показать ответ
Ответ: А) Вектору AC
По правилу треугольника идём из начала первого вектора в конец второго, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
-
Какие утверждения верны для любых векторов?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Сумма a + b равна b + a; В) Сумма a + 0 равна a; Г) Сумма AB + BC + CA равна нулевому вектору
Сложение переместительно, нулевой вектор ничего не меняет, а замкнутая ломаная даёт нулевую сумму. Длины складываются только у сонаправленных векторов.
-
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), отложенные от одной точки, перпендикулярны, \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\). Найдите \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
Показать ответ
Ответ: 5
Сумма — диагональ прямоугольника со сторонами 3 и 4, \(\sqrt{9 + 16} = 5\).
-
ABCD — параллелограмм. Какой вектор равен \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) AC
Правило параллелограмма — сумма векторов, отложенных от \(A\), есть диагональ \(\overrightarrow{AC}\), выходящая из той же точки.
-
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены, \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 7\). Найдите \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
Показать ответ
Ответ: 9
У сонаправленных векторов сумма направлена так же, а её длина равна \(2 + 7 = 9\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Упростите выражение \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\).
Подсказка
Каждый следующий вектор начинается там, где закончился предыдущий.
Решение
По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), затем \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). Это и есть правило многоугольника — от начала первого вектора к концу последнего.
Ответ
Пешеход прошёл 3 км на север, а затем 4 км на восток. Найдите длину вектора его итогового перемещения.
Подсказка
Два перемещения перпендикулярны — итоговое перемещение будет гипотенузой.
Решение
Перемещения \(\overrightarrow{AB}\) (3 км на север) и \(\overrightarrow{BC}\) (4 км на восток) складываем по правилу треугольника, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Угол \(B\) прямой, по теореме Пифагора \(AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) км.
Ответ
ABCD — квадрат со стороной 6. Найдите \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|\).
Подсказка
Векторы отложены от одной точки — примените правило параллелограмма.
Решение
По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\). Диагональ квадрата \(AC = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}\).
Ответ
К телу приложены две силы 5 Н и 12 Н, направленные под прямым углом друг к другу. Найдите модуль их суммы (равнодействующей).
Подсказка
Параллелограмм на двух перпендикулярных векторах — прямоугольник.
Решение
По правилу параллелограмма сумма сил — диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12. Её длина \(\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) Н.
Ответ
ABCD — ромб со стороной 10 и углом \(A = 60^\circ\). Найдите \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|\).
Подсказка
Сумма — диагональ AC. Найдите сначала диагональ BD.
Решение
По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\). Треугольник \(ABD\) равнобедренный с углом \(60^\circ\), значит, равносторонний, \(BD = 10\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой \(O\) пополам, \(BO = 5\). Из прямоугольного треугольника \(ABO\): \(AO = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}\), тогда \(AC = 10\sqrt{3}\).
Ответ
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют длину 4 и, отложенные от одной точки, образуют угол \(120^\circ\). Найдите \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
Подсказка
Постройте параллелограмм — это ромб. Какой угол у вершины, из которой не выходит диагональ-сумма?
Решение
Отложим \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), \(\angle BAD = 120^\circ\), и построим ромб \(ABCD\). Сумма \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}\). Угол \(ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), и \(AB = BC = 4\), поэтому треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AC = 4\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе «маршрут»: стрелка из дома к магазину, от магазина к школе. Спросите: «Куда в итоге переместился ребёнок?» — это и есть сумма, стрелка из дома в школу. Затем положите две ручки с общим началом, достройте параллелограмм и покажите, что сумма — его диагональ.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\)? 2) Может ли длина суммы двух векторов длиной 3 и 4 быть равна 7? А 1? А 5? 3) Какая диагональ параллелограмма \(ABCD\) равна \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)?
На что обратить внимание. Ребёнок должен следить за стрелками: в цепочке конец одного вектора — начало следующего. Частая ловушка — путать длину суммы с суммой длин.