Задача 1
Докажите, что для любых векторов x и y справедливы неравенства |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Решение
Дано: \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) — произвольные векторы. Доказать: \(|\vec{x}| - |\vec{y}| \leqslant |\vec{x} + \vec{y}| \leqslant |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
-
Векторы не коллинеарны. Отложим \(\overrightarrow{AB} = \vec{x}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{y}\). Точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, и \(\overrightarrow{AC} = \vec{x} + \vec{y}\) по правилу треугольника. По неравенству треугольника для \(\triangle ABC\): \(AC < AB + BC\) и \(AB < AC + BC\), то есть \(AB - BC < AC\). Значит, \(|\vec{x}| - |\vec{y}| < |\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
-
Векторы коллинеарны (или один из них нулевой). Если они сонаправлены, то по задаче 988 \(|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\), а это не меньше, чем \(|\vec{x}| - |\vec{y}|\).
Если они противоположно направлены и \(|\vec{x}| \geqslant |\vec{y}|\), то по задаче 988 \(|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\), а это не больше, чем \(|\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Если они противоположно направлены и \(|\vec{x}| < |\vec{y}|\), то по задаче 988 (поменяв векторы местами) \(|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{y}| - |\vec{x}|\). Это число неотрицательно, поэтому больше отрицательного числа \(|\vec{x}| - |\vec{y}|\), и не больше, чем \(|\vec{y}| + |\vec{x}|\).
Во всех случаях оба неравенства выполнены.
Ответ
Для неколлинеарных векторов это неравенство треугольника, для коллинеарных — результат задачи 988.
Подробнее — в теме «Сложение векторов».