Задача 1
Условие (кратко)
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка N, BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы a = BA и b = BC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(N \in BC\)
- \(BN = 2NC\)
- \(\vec{a} = \overrightarrow{BA}\)
- \(\vec{b} = \overrightarrow{BC}\)
Найти
- \(\overrightarrow{AN}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
-
\(BC = BN + NC = 3NC\), поэтому \(BN = \dfrac{2}{3}BC\). Векторы \(\overrightarrow{BN}\) и \(\overrightarrow{BC}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{BN} = \dfrac{2}{3}\vec{b}\).
-
По правилу треугольника \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = -\vec{a} + \dfrac{2}{3}\vec{b}\).
Ответ
AN = −a + 2/3 b
Почему так
Сонаправленный вектор, длина которого составляет 2/3 длины BC, равен 2/3 b; дальше — правило треугольника.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».