Как направлен вектор -3a относительно ненулевого вектора a?

Сонаправлен с \vec{a}

Перпендикулярно a

Направление может быть любым

Какие утверждения верны для любого вектора a и любого числа k?

Векторы \vec{a} и k\vec{a} коллинеарны

0 \cdot \vec{a} — нулевой вектор

Длина k\vec{a} равна k \cdot |\vec{a}|

Умножение вектора на число — 9 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение векторов

Коротко о главном

Умножить ненулевой вектор $\vec{a}$ на число $$k$$ — значит получить вектор длиной $|k| \cdot |\vec{a}|$ , сонаправленный с $\vec{a}$ при $k \ge 0$ и противоположно направленный при $$k < 0$$ .

|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|

Подробное объяснение

Велосипедист едет по прямой со скоростью $\vec{v}$ . Мотоциклист едет туда же, но втрое быстрее, — его скорость естественно записать как $3\vec{v}$ . А автобус едет навстречу вдвое быстрее велосипедиста — его скорость $-2\vec{v}$ . Число перед вектором меняет длину, а знак числа говорит, сохранится ли направление.

Определение

Произведение ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $$k$$ — это вектор $k\vec{a}$ , у которого:

длина равна $|k| \cdot |\vec{a}|$ ;
направление совпадает с $\vec{a}$ , если $k \ge 0$ , и противоположно, если $$k < 0$$ .

Произведение нулевого вектора на любое число — нулевой вектор.

На клетчатом поле вектор a длиной 4 клетки вправо, вектор 2a — 8 клеток вправо, вектор ½a — 2 клетки вправо, вектор −1,5a — 6 клеток влево. — Модуль числа k показывает, во сколько раз меняется длина, а знак — сохраняется направление или меняется на противоположное.

Из определения сразу следуют два факта:

$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ для любого вектора;
векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ всегда коллинеарны — лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Обратите внимание: $$|k|$$ стоит под модулем. Длина не бывает отрицательной, поэтому $|-2\vec{a}| = 2|\vec{a}|$ , а минус отвечает только за направление. Умножение на $$-1$$ даёт противоположный вектор: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ .

Свойства умножения

Для любых чисел $$k$$ , $$l$$ и векторов $\vec{a}$ , $\vec{b}$ :

сочетательный закон: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ ;
первый распределительный закон: $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ ;
второй распределительный закон: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ .

Второй закон хорошо виден на подобных треугольниках: если стороны треугольника $$OAB$$ , заданные векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , увеличить в $$k$$ раз, то и третья сторона $\vec{a} + \vec{b}$ увеличится в $$k$$ раз.

Благодаря этим законам векторные выражения преобразуют так же, как числовые: раскрывают скобки, приводят подобные. Например, $2(\vec{a} - \vec{b}) + 3\vec{b} = 2\vec{a} + \vec{b}$ .

Как решать задачи

Если нужно найти длину $k\vec{a}$ — умножьте длину $\vec{a}$ на модуль $$k$$ .
Если нужно направление — посмотрите на знак $$k$$ .
Если нужно выразить вектор через данные — пройдите от его начала к концу по известным векторам (правило треугольника или многоугольника).
Часть отрезка записывайте долей вектора: если $$M$$ делит $$BC$$ в отношении $$3 : 1$$ , то $\overrightarrow{BM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ .
Раскройте скобки и приведите подобные; проверьте знаки — вектор «против хода» берётся с минусом.

Разобранные примеры

База

Длина и направление

Условие

Длина вектора $\vec{a}$ равна 4 см. Найдите длину вектора $-2{,}5\vec{a}$ и укажите его направление.

Дано

$|\vec{a}| = 4$ см

Найти

$|-2{,}5\vec{a}|$ и направление

Решение

$|-2{,}5\vec{a}| = |-2{,}5| \cdot 4 = 10$ см. Число отрицательное, значит, вектор направлен противоположно $\vec{a}$ .

Ответ: 10 см, направлен противоположно вектору a

Средний

Упрощение выражения

Условие

Упростите выражение $\vec{p} = 3(\vec{a} - 2\vec{b}) - 2(\vec{a} + \vec{b}) + 4\vec{b}$ .

Решение

Раскроем скобки по распределительным законам:

$\vec{p} = 3\vec{a} - 6\vec{b} - 2\vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{b}$ .

Приведём подобные: при $\vec{a}$ коэффициент $$3 - 2 = 1$$ , при $\vec{b}$ — $$-6 - 2 + 4 = -4$$ .

Ответ: p = a − 4b

Сложный

Вектор в параллелограмме

Условие

В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$K$$ лежит на стороне $$CD$$ , причём $$DK : KC = 1 : 2$$ . Выразите векторы $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{KB}$ через $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ .

Решение

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$ . Отрезок $$DC$$ разбит на 3 части, поэтому $\overrightarrow{DK} = \dfrac{1}{3}\vec{a}$ , $\overrightarrow{KC} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ .
$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DK} = \vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{a}$ .
$\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{b}$ , поэтому $\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CB} = \dfrac{2}{3}\vec{a} - \vec{b}$ .

Проверка: $\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB} = \vec{a} = \overrightarrow{AB}$ — верно.

Ответ: AK = ⅓a + b, KB = ⅔a − b

Типичные ошибки

Считают, что длина вектора −3a равна −3|a|

Почему неверно

Длина — это расстояние, она не может быть отрицательной. Минус меняет только направление.

Как правильно

Длину умножают на модуль числа: $|-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$ , а вектор направлен противоположно $\vec{a}$ .

Путают направление вектора при обходе фигуры

Почему неверно

В параллелограмме $$ABCD$$ ученик пишет $\overrightarrow{CD} = \vec{a}$ , если $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ . Но $\overrightarrow{CD}$ идёт в обратную сторону, и знак ответа получается неверным.

Как правильно

Равны только сонаправленные стороны: $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$ , а $\overrightarrow{CD} = -\vec{a}$ . Перед записью смотрите на чертёж: совпадает ли направление обхода с направлением данного вектора.

Берут неверную долю отрезка

Почему неверно

При $$BM : MC = 3 : 1$$ пишут $\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{BC}$ или $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ , путая отношение частей с долей целого.

Как правильно

Сложите части: $$3 + 1 = 4$$ . Тогда $$BM$$ составляет $\dfrac{3}{4}$ стороны, $\overrightarrow{BM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ , а $\overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Длина вектора $\vec{a}$ равна 6 см. Найдите длину вектора $-\dfrac{1}{3}\vec{a}$ и укажите его направление относительно $\vec{a}$ .

Подсказка

Длина вектора ka равна |k|·|a|, знак k отвечает за направление.

Решение

$\left|-\dfrac{1}{3}\vec{a}\right| = \left|-\dfrac{1}{3}\right| \cdot |\vec{a}| = \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2$ см. Множитель отрицательный, поэтому вектор направлен противоположно $\vec{a}$ .

Ответ

2 см, направлен противоположно a

База Задача 2

Упростите выражение $2(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b})$ .

Подсказка

Раскройте скобки, как в алгебре, и приведите подобные.

Решение

$2(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b}) = 2\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 5\vec{b}$ .

Ответ

a + 5b

Средний Задача 3

Известно, что $\vec{p} = 2\vec{a}$ и $|\vec{p}| = 10$ см. Найдите длину вектора $-3\vec{a}$ .

Подсказка

Сначала найдите |a|.

Решение

$|\vec{p}| = 2|\vec{a}|$ , поэтому $|\vec{a}| = 5$ см. Тогда $|-3\vec{a}| = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ

15 см

Средний Задача 4

В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$K$$ лежит на стороне $$BC$$ , причём $$BK : KC = 1 : 3$$ . Выразите вектор $\overrightarrow{AK}$ через $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ .

Подсказка

Вектор BC равен вектору AD, а BK — его четверть.

Решение

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ . Сторона $$BC$$ разбита на $$1 + 3 = 4$$ части, поэтому $\overrightarrow{BK} = \dfrac{1}{4}\vec{b}$ . По правилу треугольника $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} = \vec{a} + \dfrac{1}{4}\vec{b}$ .

Ответ

AK = a + ¼b

Сложный Задача 5

Векторы $\vec{x} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{y} = \vec{a} + \vec{b}$ . Выразите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ .

Подсказка

Сложите равенства — вектор b исчезнет.

Решение

Сложим равенства: $\vec{x} + \vec{y} = 3\vec{a}$ , откуда $\vec{a} = \dfrac{1}{3}(\vec{x} + \vec{y})$ .

Из второго равенства $\vec{b} = \vec{y} - \vec{a} = \vec{y} - \dfrac{1}{3}\vec{x} - \dfrac{1}{3}\vec{y} = \dfrac{2}{3}\vec{y} - \dfrac{1}{3}\vec{x}$ .

Проверка: $2\vec{a} - \vec{b} = \dfrac{2}{3}\vec{x} + \dfrac{2}{3}\vec{y} - \dfrac{2}{3}\vec{y} + \dfrac{1}{3}\vec{x} = \vec{x}$ .

Ответ

a = ⅓(x + y), b = ⅔y − ⅓x

Сложный Задача 6

Для точек $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ известно, что $\overrightarrow{AB} = -2{,}5\,\overrightarrow{CD}$ и $$CD = 4$$ см. Найдите длину отрезка $$AB$$ . Что можно сказать о прямых $$AB$$ и $$CD$$ ?

Подсказка

Из равенства векторов следует их коллинеарность.

Решение

$AB = |-2{,}5| \cdot CD = 2{,}5 \cdot 4 = 10$ см. Вектор $\overrightarrow{AB}$ — произведение $\overrightarrow{CD}$ на число, поэтому векторы коллинеарны (направлены противоположно). Значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны или совпадают.

Ответ

AB = 10 см; прямые AB и CD параллельны или совпадают

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге стрелку на 4 клетки вправо — это $\vec{a}$ . Попросите ребёнка нарисовать $2\vec{a}$ (8 клеток вправо), $\dfrac{1}{2}\vec{a}$ (2 клетки вправо) и $-\vec{a}$ (4 клетки влево). Главная мысль: число меняет длину во столько раз, каков его модуль, а минус разворачивает стрелку.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем отличаются векторы $2\vec{a}$ и $-2\vec{a}$ ? 2) Что получится, если умножить вектор на 0? 3) Как упростить $2(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{a}$ ?

На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в знаках, когда выражают векторы в параллелограмме или треугольнике. Полезно каждый раз проговаривать путь: «из $$A$$ в $$B$$ , потом из $$B$$ в $$K$$ » — и сверять направление каждого шага с данными векторами.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 91	963, 964, 965, 966, 967, 968, 969, 970, 971, 972, 973, 974, 975