Задача 1
Условие (кратко)
На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены точки X и Y, MX : XN = 3 : 2, NY : YP = 3 : 2. Выразите векторы XY и MP через векторы a = NM и b = NP.
Решение
Дано
- \(\triangle MNP\)
- \(X \in MN\)
- \(Y \in NP\)
- \(\dfrac{MX}{XN} = \dfrac{3}{2}\)
- \(\dfrac{NY}{YP} = \dfrac{3}{2}\)
- \(\vec{a} = \overrightarrow{NM}\)
- \(\vec{b} = \overrightarrow{NP}\)
Найти
- \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{MP}\)
-
\(NM = MX + XN = 5\) частей, \(XN = 2\) части, поэтому \(NX = \dfrac{2}{5}NM\) и \(\overrightarrow{NX} = \dfrac{2}{5}\vec{a}\) (векторы сонаправлены).
-
\(NP = 5\) частей, \(NY = 3\) части, поэтому \(\overrightarrow{NY} = \dfrac{3}{5}\vec{b}\).
-
\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{NY} - \overrightarrow{NX} = \dfrac{3}{5}\vec{b} - \dfrac{2}{5}\vec{a}\).
-
\(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP} - \overrightarrow{NM} = \vec{b} - \vec{a}\).
Ответ
XY = −2/5 a + 3/5 b; MP = −a + b
Почему так
Векторы, отложенные от общей точки N, вычитаем по правилу разности; доли отрезков дают множители 2/5 и 3/5.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».