Задача 1
Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC, на AD отмечена точка K, AK = 1/3 AD. Выразите векторы CK, KD и BC через векторы a = BA и b = CD.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AD = 3BC\)
- \(K \in AD\)
- \(AK = \dfrac{1}{3}AD\)
- \(\vec{a} = \overrightarrow{BA}\)
- \(\vec{b} = \overrightarrow{CD}\)
- \(\overrightarrow{CK}\)
- \(\overrightarrow{KD}\)
- \(\overrightarrow{BC}\)
-
\(AK = \dfrac{1}{3}AD = BC\), а векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{BC}\) сонаправлены (основания трапеции параллельны и направлены одинаково). Значит, \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BC}\), и \(ABCK\) — параллелограмм. Поэтому \(\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA} = \vec{a}\).
-
По правилу треугольника \(\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CD} = -\vec{a} + \vec{b}\).
-
\(KD = AD - AK = \dfrac{2}{3}AD = 2BC\), векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{KD}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KD} = \dfrac{1}{2}\vec{b} - \dfrac{1}{2}\vec{a}\).
Ответ
Отрезок AK равен BC, поэтому ABCK — параллелограмм, а KD вдвое длиннее BC и сонаправлен с ним.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».