Задача 1
Точки A, B, C расположены так, что вектор BC = 1/2 вектора AB. Докажите, что для любой точки O вектор OB = 1/3 OA + 2/3 OC.
Решение
Дано: \(\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), \(O\) — произвольная точка. Доказать: \(\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OC}\).
-
Выразим векторы через векторы с началом в точке \(O\) по правилу разности: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\).
-
Подставим в условие: \(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}\).
-
Перенесём слагаемые: \(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\).
-
Умножим обе части на \(\dfrac{2}{3}\): \(\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OC}\).
Ответ
Все векторы выражаются через векторы с общим началом O по правилу разности, дальше — действия с векторами как с выражениями.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».