Точка C — середина отрезка AB, O — произвольная точка. Чему равен вектор \overrightarrowOC?

\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

Какие утверждения о средней линии трапеции верны?

Она параллельна основаниям

Она проходит через середины диагоналей

Она равна сумме оснований

Она соединяет середины оснований

Точка C — середина отрезка AB. Какое равенство верно?

\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \vec{0}

\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}

Применение векторов к решению задач

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение вектора на число

Коротко о главном

Векторный метод: нужные отрезки записывают векторами, выражают через несколько известных и делают вывод из полученного равенства. Главные инструменты — формула середины отрезка и теорема о средней линии трапеции.

\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}), \qquad MN = \dfrac{AD + BC}{2}

Подробное объяснение

Как доказать, что три точки лежат на одной прямой или что две прямые параллельны? Можно искать равные треугольники и углы, а можно перевести задачу на язык векторов. Векторы удобны тем, что их складывают и умножают на числа по привычным правилам, а вывод о фигуре читается прямо из равенства.

Что можно узнать из векторного равенства

Если $\overrightarrow{MN} = k\overrightarrow{AD}$ , векторы коллинеарны. Значит, прямые $$MN$$ и $$AD$$ параллельны (если точка $$M$$ не лежит на прямой $$AD$$ ) или совпадают.
Если $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{ON}$ , точки $$O$$ , $$M$$ , $$N$$ лежат на одной прямой.
Длина: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ , так что из равенства векторов получаем отношение длин отрезков.

Формула середины отрезка

Пусть $$C$$ — середина $$AB$$ , а $$O$$ — любая точка. По правилу треугольника $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}$ . Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$ равны по длине и противоположны, их сумма равна $\vec{0}$ . Сложив равенства, получим $2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ :

\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}).

Если $$O$$ совпадает с вершиной треугольника, получаем вектор медианы: в треугольнике $$ABC$$ с серединой $$M$$ стороны $$BC$$ $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .

Теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC, векторы AD и BC направлены вправо. M и N — середины боковых сторон, вектор MN тоже направлен вправо и равен половине суммы AD и BC. — Из равенства MN = ½(AD + BC) для векторов следует, что средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Идея доказательства. Пусть $$MN$$ — средняя линия трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ . Запишем вектор $\overrightarrow{MN}$ двумя путями: через $$B$$ и $$C$$ и через $$A$$ и $$D$$ :

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$ , $\quad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ .

При сложении векторы от середин к концам боковых сторон уничтожаются: $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \vec{0}$ , $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}$ . Остаётся $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$ . Векторы оснований сонаправлены, поэтому $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен с ними, а его длина равна $\dfrac{AD + BC}{2}$ .

Тем же способом векторы помогают доказать, что отрезок между серединами диагоналей трапеции равен полуразности оснований, а медианы любого треугольника можно сложить в треугольник.

Как решать задачи

Сделайте чертёж и выберите два-три «базовых» вектора, обычно стороны фигуры.
Нужный вектор запишите через базовые: по правилу треугольника, многоугольника или по формуле середины. Иногда удобно записать его двумя путями и сложить.
Приведите подобные и посмотрите на результат: коллинеарность даёт параллельность или точки на одной прямой, коэффициент даёт отношение длин.
В задачах на трапецию сразу ищите среднюю линию: $m = \dfrac{a + b}{2}$ , а отрезки средней линии, отсекаемые диагональю, — половины оснований.

Разобранные примеры

База

Основание по средней линии

Условие

Средняя линия трапеции равна 14 см, а большее основание — 20 см. Найдите меньшее основание.

Дано

$$m = 14$$ см
$$a = 20$$ см

Найти

$$b$$

Решение

$m = \dfrac{a + b}{2}$ , поэтому $$a + b = 28$$ см и $$b = 28 - 20 = 8$$ см.

Ответ: 8 см

Средний

Точка на медиане

Условие

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина $$BC$$ , точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$ . Выразите $\overrightarrow{AK}$ через $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ .

Решение

По формуле середины отрезка $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$ . Точка $$K$$ — середина $$AM$$ , поэтому $\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}(\vec{b} + \vec{c})$ .

Ответ: AK = ¼(b + c)

Сложный

Середины сторон четырёхугольника

Условие

Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника $$ABCD$$ являются вершинами параллелограмма.

Решение

Пусть $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , $$N$$ — середины $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ .

$\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ .
Так же $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{DM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$ : отрезки $$KL$$ и $$NM$$ параллельны и равны (точки $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , $$N$$ не лежат на одной прямой). Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, — параллелограмм.

Ответ: KLMN — параллелограмм, его стороны параллельны диагоналям и равны их половинам

Типичные ошибки

Считают среднюю линию равной сумме оснований

Почему неверно

Средняя линия лежит «посередине» между основаниями, она длиннее меньшего, но короче большего. Сумма оснований больше каждого из них.

Как правильно

Берите полусумму: $m = \dfrac{a + b}{2}$ . Проверка: ответ должен лежать между длинами оснований.

Путают среднюю линию с отрезком между серединами диагоналей

Почему неверно

Оба отрезка лежат на одной прямой, но отрезок между серединами диагоналей — только её часть. Его длина равна полуразности оснований, а не полусумме.

Как правильно

Средняя линия соединяет середины боковых сторон: $\dfrac{a + b}{2}$ . Отрезок между серединами диагоналей: $\dfrac{a - b}{2}$ , где $$a$$ — большее основание.

Записывают для середины C отрезка AB равенство AC = BC как векторов

Почему неверно

Отрезки $$AC$$ и $$BC$$ равны, но векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$ направлены навстречу друг другу. Такая запись ломает всё дальнейшее доказательство.

Как правильно

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ , или $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}$ . Именно это равенство «съедает» лишние слагаемые в формуле середины и в теореме о средней линии.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Основания трапеции равны 4,5 см и 10,5 см. Найдите её среднюю линию.

Подсказка

Средняя линия равна полусумме оснований.

Решение

$m = \dfrac{4{,}5 + 10{,}5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ см.

Ответ

7,5 см

База Задача 2

Средняя линия трапеции равна 12 см, одно из оснований — 9 см. Найдите другое основание.

Подсказка

Сумма оснований вдвое больше средней линии.

Решение

Сумма оснований $2 \cdot 12 = 24$ см, другое основание $$24 - 9 = 15$$ см.

Ответ

15 см

Средний Задача 3

Средняя линия трапеции равна 11 см, а одно основание на 6 см больше другого. Найдите основания.

Подсказка

Обозначьте меньшее основание x.

Решение

Пусть меньшее основание $$x$$ см, большее $$x + 6$$ см. Тогда $\dfrac{x + x + 6}{2} = 11$ , $$2x + 6 = 22$$ , $$x = 8$$ . Основания 8 см и 14 см.

Ответ

8 см и 14 см

Средний Задача 4

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$ . Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ .

Подсказка

Воспользуйтесь формулой середины отрезка, взяв точку A за начало.

Решение

По формуле середины отрезка для точки $$A$$ : $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$ .

Ответ

AM = ½(b + c)

Сложный Задача 5

Средняя линия трапеции равна 10 см и делится диагональю на два отрезка в отношении $$2 : 3$$ . Найдите основания трапеции.

Подсказка

Отрезки средней линии — средние линии двух треугольников, на которые диагональ делит трапецию.

Решение

Части средней линии: $10 \cdot \dfrac{2}{5} = 4$ см и $10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6$ см.

Диагональ $$AC$$ делит трапецию $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ . Часть средней линии внутри каждого — средняя линия этого треугольника, поэтому она равна половине соответствующего основания. Основания: $2 \cdot 4 = 8$ см и $2 \cdot 6 = 12$ см.

Проверка: $\dfrac{8 + 12}{2} = 10$ см.

Ответ

8 см и 12 см

Сложный Задача 6

Основания трапеции равны 6 см и 16 см. Найдите расстояние между серединами её диагоналей.

Подсказка

Запишите вектор между серединами диагоналей двумя путями и сложите.

Решение

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD = 16$$ см, $$BC = 6$$ см, $$P$$ и $$Q$$ — середины $$AC$$ и $$BD$$ .

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DQ}$ и $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BQ}$ . Сложим: $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}$ , $\overrightarrow{DQ} + \overrightarrow{BQ} = \vec{0}$ , поэтому $\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})$ .

$\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CB}$ противоположно направлены, длина их суммы $$16 - 6 = 10$$ см. Значит, $$PQ = 5$$ см.

Ответ

5 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте трапецию на клетчатой бумаге: нижнее основание 10 клеток, верхнее 4. Отметьте середины боковых сторон и соедините их — ребёнок посчитает по клеткам, что средняя линия равна 7, то есть $$(10 + 4) : 2$$ . Затем объясните, что векторы дают то же самое без измерений: вектор средней линии равен половине суммы векторов оснований.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как найти вектор, идущий из точки $$O$$ в середину отрезка $$AB$$ ? 2) Чему равна средняя линия трапеции с основаниями 3 и 9? 3) Почему из равенства $\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AD}$ следует, что прямые $$MN$$ и $$AD$$ параллельны или совпадают?

На что обратить внимание. В доказательствах важно правильно записывать направления векторов и не забывать, что коллинеарность векторов даёт параллельность прямых, только если они не лежат на одной прямой. В вычислительных задачах проверяйте: средняя линия всегда между основаниями по длине.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 92	976, 977, 978, 979, 980, 981, 982, 983, 984, 985, 986, 987