Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе X, задание 994

Задача 1

Условие (кратко)

Точка C делит отрезок AB в отношении m : n, считая от A. Докажите, что для любой точки O вектор OC = n/(m + n) · OA + m/(m + n) · OB.

Решение

Дано: $C \in AB$ , $$AC : CB = m : n$$ , $$O$$ — произвольная точка. Доказать: $\overrightarrow{OC} = \dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ .

$$AB = AC + CB$$ — это $$m + n$$ частей, а $$AC$$ — $$m$$ частей, поэтому $AC = \dfrac{m}{m+n}AB$ . Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ сонаправлены, значит, $\overrightarrow{AC} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ , поэтому
$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{m}{m+n}\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\right).$
Коэффициент при $\overrightarrow{OA}$ равен $1 - \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{n}{m+n}$ , поэтому $\overrightarrow{OC} = \dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ .

Ответ

Равенство доказано

Почему так

Вектор AC составляет долю m/(m + n) вектора AB, а дальше — правило треугольника и правило разности.

Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).