Задача 1
(Повышенной трудности.) A и C — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, B и D — середины двух других сторон. Докажите, что для любой точки O вектор OA + OC = OB + OD.
Решение
Дано: \(PQRS\) — четырёхугольник; \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — середины сторон \(PQ\), \(QR\), \(RS\), \(SP\); \(O\) — произвольная точка. Доказать: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\).
-
Если \(M\) — середина отрезка \(XY\), то \(\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY}\right)\) для любой точки \(O\). Действительно, \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XM}\) и \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OY} + \overrightarrow{YM}\); векторы \(\overrightarrow{XM}\) и \(\overrightarrow{YM}\) противоположны, и при сложении равенств они сокращаются: \(2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY}\).
-
Применим это к каждой середине: \(\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ})\), \(\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OS})\), \(\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR})\), \(\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OP})\).
-
Обе суммы равны одному и тому же вектору:
\[\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OS}) = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.\]
Ответ
Вектор к середине отрезка равен полусумме векторов к его концам; обе суммы дают половину суммы векторов к четырём вершинам.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».