Задача 1
Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны a.
Решение
- \(ABCD\) — прямоугольная трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(\angle A = \angle B = 90^\circ\)
- \(\angle C = 120^\circ\)
- меньшая диагональ и большая боковая сторона \(CD\) равны \(a\)
- среднюю линию \(MN\)
-
\(\angle D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) (углы, прилежащие к боковой стороне \(CD\)). Большая боковая сторона — наклонная \(CD\), она длиннее высоты \(AB\).
-
Проведём высоту \(CH\) к основанию \(AD\). Угол \(D\) острый, поэтому \(H\) лежит между \(A\) и \(D\), и \(AD = AH + HD = BC + HD > BC\). По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 + BC^2 < AB^2 + AD^2 = BD^2\), поэтому меньшая диагональ — \(AC\), и \(AC = CD = a\).
-
В \(\triangle ACD\) стороны \(AC = CD\) и \(\angle D = 60^\circ\), значит, треугольник равносторонний: \(AD = a\), \(\angle CAD = 60^\circ\).
-
\(\angle BAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). В прямоугольном \(\triangle ABC\) катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\): \(BC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\).
-
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(MN = \dfrac{1}{2}\left(a + \dfrac{a}{2}\right) = \dfrac{3}{4}a\).
Ответ
Треугольник ACD равносторонний, поэтому AD = a, а BC = a/2 как катет против угла 30°; средняя линия — полусумма оснований.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».