Задача 1
Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\); биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(O\); \(M\) — середина \(AB\). Доказать: \(O\) лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
-
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\) (односторонние углы при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AB\)). Поэтому \(\angle OAB + \angle OBA = \dfrac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ\), и \(\angle AOB = 90^\circ\).
-
В прямоугольном \(\triangle AOB\) медиана к гипотенузе равна её половине: \(MO = MA = MB\). Значит, \(\triangle AMO\) равнобедренный, и \(\angle MOA = \angle MAO\).
-
\(\angle MAO = \angle OAD\), так как \(AO\) — биссектриса. Получаем \(\angle MOA = \angle OAD\). Это накрест лежащие углы при прямых \(MO\) и \(AD\) и секущей \(AO\) (точки \(M\) и \(D\) лежат по разные стороны от биссектрисы \(AO\)), поэтому \(MO \parallel AD\).
-
Средняя линия трапеции проходит через середину \(M\) боковой стороны и параллельна основанию \(AD\). Через точку \(M\) проходит только одна прямая, параллельная \(AD\) (аксиома параллельных прямых). Значит, прямая \(MO\) и есть прямая средней линии, и точка \(O\) лежит на ней.
Ответ
Угол между биссектрисами прямой, медиана к гипотенузе даёт равнобедренный треугольник, откуда MO ∥ AD, а через M проходит единственная такая прямая.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».