Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1076

Дополнительные задачи к главе XI

Задача 1

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите число x (если возможно), при котором векторы p = 2a − b и q = a + xb коллинеарны.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$

Найти

$$x$$
при котором $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны

Вектор $\vec{q}$ ненулевой: его коэффициент при $\vec{a}$ равен 1, а нулевой вектор раскладывается только с нулевыми коэффициентами. Поэтому $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $\vec{p} = k\vec{q}$ для некоторого числа $$k$$ .
$2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + kx\vec{b}$ . Разложение по неколлинеарным векторам единственно, поэтому коэффициенты равны: $$k = 2$$ , $$kx = -1$$ .
$x = -\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

x = −1/2

Почему так

Коллинеарные векторы раскладываются по неколлинеарным a и b с пропорциональными коэффициентами, потому что разложение единственно.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 2

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите число x (если возможно), при котором векторы p = xa − b и q = a + xb коллинеарны.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$\vec{p} = x\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$

Найти

$$x$$
при котором $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны

$\vec{q} \ne \vec{0}$ (коэффициент при $\vec{a}$ равен 1), поэтому коллинеарность означает $\vec{p} = k\vec{q}$ .
$x\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + kx\vec{b}$ . По единственности разложения $$k = x$$ и $$kx = -1$$ , то есть $$x^2 = -1$$ .
Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, такого $$x$$ нет.

Ответ

Такого числа x не существует

Почему так

Из единственности разложения получается условие x² = −1, которое не выполняется ни при каком x.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 3

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите число x (если возможно), при котором векторы p = a + xb и q = a − 2b коллинеарны.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}$
$\vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$

Найти

$$x$$
при котором $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны

$\vec{q} \ne \vec{0}$ , поэтому нужно $\vec{p} = k\vec{q}$ , то есть $\vec{a} + x\vec{b} = k\vec{a} - 2k\vec{b}$ .
По единственности разложения $$k = 1$$ , $$x = -2k = -2$$ .

Ответ

x = −2

Почему так

При x = −2 векторы p и q просто совпадают, а при других x коэффициенты не пропорциональны.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 4

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите число x (если возможно), при котором векторы p = 2a + b и q = xa + b коллинеарны.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}$

Найти

$$x$$
при котором $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны

$\vec{q} \ne \vec{0}$ (коэффициент при $\vec{b}$ равен 1), поэтому нужно $\vec{p} = k\vec{q}$ , то есть $2\vec{a} + \vec{b} = kx\vec{a} + k\vec{b}$ .
По единственности разложения $$k = 1$$ , $$kx = 2$$ , откуда $$x = 2$$ .

Ответ

x = 2

Почему так

Коэффициенты разложения коллинеарных векторов по a и b пропорциональны; здесь это возможно только при x = 2.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-11/upr-1076/