Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Представьте, что по городу можно ходить только по двум улицам-направлениям: «на север» и «на восток». Тогда любой маршрут из точки в точку можно описать так: «столько-то кварталов на восток и столько-то на север». В геометрии роль таких направлений играют два неколлинеарных вектора, а «количество кварталов» — числа \(x\) и \(y\).

Лемма о коллинеарных векторах

Напомним: векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому.

Лемма. Если \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны и \(\vec{a} \ne \vec{0}\), то найдётся число \(k\), при котором \(\vec{b} = k\vec{a}\).

Почему так. Длина вектора \(k\vec{a}\) равна \(|k| \cdot |\vec{a}|\), поэтому берём \(|k| = \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\). Знак выбираем по направлению:

• если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\) (сонаправлены), то \(k = \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\), \(k \ge 0\);
• если \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\) (противоположно направлены), то \(k = -\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\), \(k < 0\).

Тогда у векторов \(k\vec{a}\) и \(\vec{b}\) одинаковые длина и направление, то есть они равны. Обратное тоже верно: вектор \(k\vec{a}\) всегда коллинеарен \(\vec{a}\). Поэтому равенство \(\vec{b} = k\vec{a}\) — удобный признак коллинеарности.

Что такое разложение

Если вектор записан как \(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}\), говорят, что \(\vec{p}\) разложен по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а числа \(x\) и \(y\) — коэффициенты разложения.

Теорема о разложении

Теорема. На плоскости любой вектор \(\vec{p}\) можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Идея доказательства. Отложим \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{p}\) от одной точки \(O\). Через конец \(P\) вектора \(\vec{p}\) проведём прямую, параллельную \(\vec{b}\), до пересечения с прямой, на которой лежит \(\vec{a}\), в точке \(A_1\). По правилу треугольника \(\vec{p} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1P}\). Первый вектор коллинеарен \(\vec{a}\), второй — \(\vec{b}\), поэтому по лемме \(\overrightarrow{OA_1} = x\vec{a}\) и \(\overrightarrow{A_1P} = y\vec{b}\). Если \(\vec{p}\) сам коллинеарен одному из векторов, например \(\vec{b}\), то просто \(\vec{p} = 0 \cdot \vec{a} + y\vec{b}\).

Единственность. Пусть есть два разложения: \(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}\) и \(\vec{p} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}\). Вычтем: \((x - x_1)\vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}\). Если бы \(x - x_1 \ne 0\), то \(\vec{a}\) выразился бы через \(\vec{b}\) и векторы оказались бы коллинеарны. Значит, \(x = x_1\) и \(y = y_1\).

Два неколлинеарных вектора называют векторным базисом.

Главное следствие для задач

Если \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны и \(x\vec{a} + y\vec{b} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}\), то можно приравнять коэффициенты: \(x = x_1\), \(y = y_1\). В частности, из \(x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}\) следует \(x = y = 0\).

Как решать задачи

1. Найти \(k\) в равенстве \(\vec{b} = k\vec{a}\): переведите длины в одни единицы, разделите \(|\vec{b}|\) на \(|\vec{a}|\) и поставьте знак по направлению векторов.
2. Разложить вектор фигуры по двум сторонам: пройдите от начала до конца вектора по сторонам (правило треугольника), каждую часть выразите через \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) по лемме.
3. Найти неизвестные коэффициенты: соберите всё в одну часть, сгруппируйте при \(\vec{a}\) и при \(\vec{b}\) и приравняйте коэффициенты (к нулю или друг к другу).