Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XI, задание 1077

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите координаты вектора p = 7a − 3b и его длину, если a{1; −1}, b{5; −2}.

Решение

Дано

$\vec{a}\{1; -1\}$
$\vec{b}\{5; -2\}$
$\vec{p} = 7\vec{a} - 3\vec{b}$

Найти

координаты $\vec{p}$ и $|\vec{p}|$

$7\vec{a}\{7; -7\}$ , $3\vec{b}\{15; -6\}$ . Координаты разности равны разностям координат: $\vec{p}\{7 - 15; -7 + 6\}$ , то есть $\vec{p}\{-8; -1\}$ .
$|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{65}$ .

Ответ

p{−8; −1}, |p| = √65

Почему так

Координаты линейной комбинации векторов — та же комбинация их координат, длина — корень из суммы квадратов координат.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите координаты вектора p = 4a − 2b и его длину, если a{6; 3}, b{5; 4}.

Решение

Дано

$\vec{a}\{6; 3\}$
$\vec{b}\{5; 4\}$
$\vec{p} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$

Найти

координаты $\vec{p}$ и $|\vec{p}|$

$4\vec{a}\{24; 12\}$ , $2\vec{b}\{10; 8\}$ , поэтому $\vec{p}\{14; 4\}$ .
$|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}$ .

Ответ

p{14; 4}, |p| = 2√53

Почему так

Координаты линейной комбинации векторов — та же комбинация их координат, длина — корень из суммы квадратов координат.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите координаты вектора p = 5a − 4b и его длину, если a{3/5; 1/5}, b{6; −1}.

Решение

Дано

$\vec{a}\left\{\dfrac{3}{5}; \dfrac{1}{5}\right\}$
$\vec{b}\{6; -1\}$
$\vec{p} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$

Найти

координаты $\vec{p}$ и $|\vec{p}|$

$5\vec{a}\{3; 1\}$ , $4\vec{b}\{24; -4\}$ , поэтому $\vec{p}\{3 - 24; 1 + 4\}$ , то есть $\vec{p}\{-21; 5\}$ .
$|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2} = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}$ .

Ответ

p{−21; 5}, |p| = √466

Почему так

Координаты линейной комбинации векторов — та же комбинация их координат, длина — корень из суммы квадратов координат.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 4

Условие (кратко)

Найдите координаты вектора p = 3(−2a − 4b) и его длину, если a{1; 5}, b{−1; −1}.

Решение

Дано

$\vec{a}\{1; 5\}$
$\vec{b}\{-1; -1\}$
$\vec{p} = 3(-2\vec{a} - 4\vec{b})$

Найти

координаты $\vec{p}$ и $|\vec{p}|$

$-2\vec{a}\{-2; -10\}$ , $4\vec{b}\{-4; -4\}$ , поэтому $-2\vec{a} - 4\vec{b}$ имеет координаты $\{-2 + 4; -10 + 4\} = \{2; -6\}$ .
$\vec{p} = 3 \cdot \{2; -6\}$ , то есть $\vec{p}\{6; -18\}$ .
$|\vec{p}| = \sqrt{6^2 + 18^2} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ .

Ответ

p{6; −18}, |p| = 6√10

Почему так

Координаты линейной комбинации векторов — та же комбинация их координат, длина — корень из суммы квадратов координат.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».