Точка A имеет координаты (x₁; y₁), точка B — (x₂; y₂). Каковы координаты вектора AB?

{(x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2}

Какие утверждения верны?

Координаты точки равны координатам её радиус-вектора

Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов

Векторы AB и BA имеют одинаковые координаты

Длина вектора {−3; 4} равна −5

Чему равно расстояние от точки (−5; 12) до начала координат?

Ста девятнадцати

Простейшие задачи в координатах

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Координаты вектора

Коротко о главном

Если известны координаты точек, многие задачи решаются простыми вычислениями. Координаты вектора — разности координат конца и начала, середина отрезка — полусумма координат концов, а длину и расстояние даёт теорема Пифагора.

\overrightarrow{AB}\{x_2 - x_1;\ y_2 - y_1\}, \qquad M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right), \qquad d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Подробное объяснение

Представьте карту города в клетку. Дом стоит в точке $$(1; 1)$$ , школа — в точке $$(7; 5)$$ . Насколько школа восточнее и севернее дома? Где встретиться с другом ровно на полпути? Сколько метров по прямой? Ответы получаются без линейки — из одних координат.

Радиус-вектор точки

Вектор $\overrightarrow{OM}$ , проведённый из начала координат в точку $$M$$ , называют радиус-вектором точки $$M$$ . Если $$M(x; y)$$ , то $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$ , то есть координаты радиус-вектора $\{x; y\}$ совпадают с координатами точки. Это мостик между точками и векторами.

Координаты вектора по началу и концу

Пусть $$A(x_1; y_1)$$ и $$B(x_2; y_2)$$ . Вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ , а координаты разности векторов — разности координат. Получаем правило: из координат конца вычитаем координаты начала:

\overrightarrow{AB}\{x_2 - x_1;\ y_2 - y_1\}.

Для дома и школы $\{7 - 1; 5 - 1\} = \{6; 4\}$ : школа на 6 клеток восточнее и на 4 севернее.

Середина отрезка

Середина $$M$$ отрезка $$AB$$ удовлетворяет равенству $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ . В координатах каждая координата середины — среднее арифметическое координат концов:

x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \qquad y = \frac{y_1 + y_2}{2}.

Место встречи на полпути — $\left(\dfrac{1 + 7}{2}; \dfrac{1 + 5}{2}\right) = (4; 3)$ .

Отрезок AB с концами A(1; 1) и B(7; 5) на координатной плоскости, его середина M(4; 3). Пунктиром достроен прямоугольный треугольник с катетами 6 и 4, гипотенуза — расстояние d. — Середина — полусумма координат концов; расстояние d — гипотенуза треугольника с катетами x₂ − x₁ и y₂ − y₁.

Длина вектора и расстояние между точками

Отложим вектор $\vec{a}\{x; y\}$ от начала координат. Его конец и проекции на оси образуют прямоугольный треугольник с катетами $$|x|$$ и $$|y|$$ . По теореме Пифагора

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Расстояние между точками — это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ :

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

От дома до школы $\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ клетки. Порядок точек не важен: разности возводятся в квадрат, и знак пропадает.

Метод координат

Эти формулы помогают доказывать теоремы. Фигуру удобно расположить в системе координат: вершину — в начало, сторону — на ось, ось симметрии — на ось $$Oy$$ . Тогда у многих точек координаты нули, и вычисления короткие. Так можно доказать, что середина гипотенузы равноудалена от вершин, или что параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Как решать задачи

Выпишите координаты всех данных точек и векторов. Если их нет — введите систему координат так, чтобы как можно больше координат стали нулями.
Определите, что нужно: вектор (разность «конец минус начало»), середину (полусумма), длину или расстояние (корень из суммы квадратов).
Если неизвестна сама точка, обозначьте её координаты $$(x; y)$$ и составьте уравнения по формуле.
Подставляйте числа со знаками в скобках: $$5 - (-3) = 8$$ , $$(-4)^2 = 16$$ .
Проверьте ответ: середина лежит между концами, длина положительна.

Разобранные примеры

База

Вектор, середина и длина

Условие

Даны точки $$A(-2; 5)$$ и $$B(4; -3)$$ . Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ , середину отрезка $$AB$$ и его длину.

Дано

$$A(-2; 5)$$
$$B(4; -3)$$

Найти

$\overrightarrow{AB}$
середину $$M$$
$$AB$$

Решение

$\overrightarrow{AB}\{4 - (-2); -3 - 5\} = \{6; -8\}$ .
$M\left(\dfrac{-2 + 4}{2}; \dfrac{5 + (-3)}{2}\right) = M(1; 1)$ .
$AB = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10$ .

Ответ: AB{6; −8}, M(1; 1), AB = 10

Средний

Четвёртая вершина параллелограмма

Условие

Три вершины параллелограмма $$ABCD$$ — $$A(1; 2)$$ , $$B(4; 6)$$ , $$C(9; 6)$$ . Найдите вершину $$D$$ .

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$A(1; 2)$$
$$B(4; 6)$$
$$C(9; 6)$$

Найти

$$D(x; y)$$

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому середины $$AC$$ и $$BD$$ совпадают.
Середина $$AC$$ : $\left(\dfrac{1 + 9}{2}; \dfrac{2 + 6}{2}\right) = (5; 4)$ .
Это же середина $$BD$$ : $\dfrac{4 + x}{2} = 5$ , $$x = 6$$ ; $\dfrac{6 + y}{2} = 4$ , $$y = 2$$ .

Проверка: $\overrightarrow{AD}\{5; 0\}$ и $\overrightarrow{BC}\{5; 0\}$ равны.

Ответ: D(6; 2)

Сложный

Точка на оси, равноудалённая от двух точек

Условие

На оси абсцисс найдите точку $$P$$ , равноудалённую от точек $$A(1; 3)$$ и $$B(5; 1)$$ .

Дано

$$A(1; 3)$$
$$B(5; 1)$$
$$P$$ на оси $$Ox$$
$$PA = PB$$

Найти

координаты $$P$$

Решение

Точка на оси абсцисс имеет вид $$P(x; 0)$$ .
$$PA^2 = (x - 1)^2 + 9$$ , $$PB^2 = (x - 5)^2 + 1$$ .
$$x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 1$$ , откуда $$8x = 16$$ , $$x = 2$$ .

Проверка: $PA = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ , $PB = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ .

Ответ: P(2; 0)

Типичные ошибки

Вычитают координаты конца из координат начала

Почему неверно

Для $$A(2; 1)$$ и $$B(5; 3)$$ получают $\overrightarrow{AB}\{-3; -2\}$ . Но это координаты вектора $\overrightarrow{BA}$ — он направлен в противоположную сторону.

Как правильно

Всегда «конец минус начало»: $\overrightarrow{AB}\{5 - 2; 3 - 1\} = \{3; 2\}$ . Для формулы расстояния порядок не важен, для координат вектора — важен.

Делят пополам разность, а не сумму

Почему неверно

Середину отрезка с концами $$(2; 4)$$ и $$(8; 10)$$ ищут как $\left(\dfrac{8 - 2}{2}; \dfrac{10 - 4}{2}\right) = (3; 3)$ . Получается половина вектора, а не точка на отрезке.

Как правильно

Координата середины — полусумма: $\left(\dfrac{2 + 8}{2}; \dfrac{4 + 10}{2}\right) = (5; 7)$ . Проверка: середина лежит между концами по обеим координатам.

Теряют знак минус при возведении в квадрат

Почему неверно

В записи $\sqrt{-3^2 + 4^2}$ без скобок получается $\sqrt{-9 + 16} = \sqrt{7}$ вместо 5.

Как правильно

Отрицательную разность берите в скобки: $\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Квадрат любой разности неотрицателен.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Даны точки A(3; −1) и B(−1; 5). Найдите координаты вектора AB.

Подсказка

Из координат конца вычтите координаты начала.

Решение

$\overrightarrow{AB}\{-1 - 3; 5 - (-1)\} = \{-4; 6\}$ .

Ответ

AB{−4; 6}

База Задача 2

Найдите длину вектора a{−6; 8}.

Подсказка

Длина вектора — корень из суммы квадратов координат.

Решение

$|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

Ответ

10

Средний Задача 3

Точка M(2; −1) — середина отрезка AB, A(−3; 4). Найдите координаты точки B.

Подсказка

Из формулы середины x = (x₁ + x₂)/2 выразите x₂.

Решение

$x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 7$ , $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$ . Значит, $$B(7; -6)$$ .

Ответ

B(7; −6)

Средний Задача 4

Найдите расстояние между точками A(−2; −3) и B(4; 5).

Подсказка

Сначала найдите разности координат, потом примените теорему Пифагора.

Решение

$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ .

Ответ

10

Сложный Задача 5

Вершины треугольника — A(1; 1), B(4; 5), C(8; 2). Докажите, что он прямоугольный и равнобедренный, и найдите его площадь.

Подсказка

Найдите все три стороны и проверьте теорему, обратную теореме Пифагора.

Решение

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , $BC = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$ , $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}$ . $$AB = BC$$ — треугольник равнобедренный; $$AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2$$ — по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle B = 90^\circ$ . Площадь $\dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5$ .

Ответ

∠B = 90°, AB = BC = 5, S = 12,5

Сложный Задача 6

Найдите y, при котором точка M(4; y) равноудалена от точек O(0; 0) и B(8; 4).

Подсказка

Приравняйте квадраты расстояний MO и MB.

Решение

$$MO^2 = 16 + y^2$$ , $$MB^2 = (8 - 4)^2 + (4 - y)^2 = 16 + 16 - 8y + y^2$$ . Из $$16 + y^2 = 32 - 8y + y^2$$ получаем $$8y = 16$$ , $$y = 2$$ . Проверка $MO = MB = \sqrt{20}$ .

Ответ

y = 2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и отметьте два «пункта», например дом $$(1; 1)$$ и магазин $$(7; 5)$$ . Спросите, на сколько клеток идти вправо и вверх, — это координаты вектора. Попросите найти место «ровно на полпути» — ребёнок увидит, что это среднее арифметическое координат. Расстояние по прямой — гипотенуза треугольника, который виден на клетках.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как найти координаты вектора, если известны его начало и конец? 2) Чем формула середины отличается от формулы координат вектора? 3) Почему в формуле расстояния неважно, какую точку считать первой?

На что обратить внимание. Главные источники ошибок — знаки при вычитании отрицательных чисел и порядок «конец минус начало». Попросите ребёнка проговаривать каждую подстановку со скобками и проверять ответ рисунком на клетчатой бумаге.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 95	1016, 1017, 1018, 1019, 1020, 1021, 1022
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 96	1023, 1024, 1025, 1026, 1027, 1028, 1029, 1030, 1031, 1032, 1033, 1034, 1035, 1036, 1037, 1038, 1039, 1040, 1041, 1042, 1043, 1044