Задача 1
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками M₁(x₁; 0) и M₂(x₂; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |x₁ − x₂|.
Решение
Дано: \(M_1(x_1; 0)\), \(M_2(x_2; 0)\). Доказать: \(M_1M_2 = |x_1 - x_2|\).
-
Координаты вектора равны разностям координат конца и начала: \(\overrightarrow{M_1M_2}\{x_2 - x_1; 0\}\).
-
Отложим от начала координат вектор \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{M_1M_2}\). Координаты точки \(A\) равны координатам вектора \(\overrightarrow{OA}\), то есть \(A(x_2 - x_1; 0)\): точка \(A\) лежит на оси абсцисс.
-
Расстояние от начала координат до точки оси абсцисс равно модулю её абсциссы, поэтому \(OA = |x_2 - x_1|\).
-
Равные векторы имеют равные длины: \(M_1M_2 = OA = |x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|\).
Ответ
Вектор M₁M₂ имеет координаты {x₂ − x₁; 0}, а его длина равна модулю абсциссы.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».