Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(3; 2), B(0; 5), C(−3; 2), D(0; −1) является квадратом.
Решение
Дано: \(A(3; 2)\), \(B(0; 5)\), \(C(-3; 2)\), \(D(0; -1)\). Доказать: \(ABCD\) — квадрат.
-
Стороны: \(AB = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\), \(BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}\), \(CD = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}\), \(DA = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\). Все стороны равны, значит, \(ABCD\) — ромб.
-
Диагонали: \(AC = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6\), \(BD = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6\). Они равны.
-
Параллелограмм (ромб) с равными диагоналями — прямоугольник. Ромб, который является прямоугольником, — квадрат.
Ответ
Утверждение доказано: все стороны равны 3√2, диагонали равны 6
Почему так
Ромб с равными диагоналями является прямоугольником, то есть квадратом.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».