Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что ABCD с вершинами A(−2; −3), B(1; 4), C(8; 7), D(5; 0) — ромб, и найдите его площадь.
Решение
Дано
- \(A(-2; -3)\)
- \(B(1; 4)\)
- \(C(8; 7)\)
- \(D(5; 0)\). Доказать: \(ABCD\) — ромб
Найти
- \(S\)
-
\(AB = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}\), \(BC = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{58}\), \(CD = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{58}\), \(DA = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{58}\). Все стороны равны — четырёхугольник является ромбом.
-
Диагонали: \(AC = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\), \(BD = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}\).
-
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S = \dfrac{10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \dfrac{80}{2} = 40\).
Ответ
ABCD — ромб, S = 40
Почему так
Четырёхугольник с равными сторонами — ромб, а его площадь равна половине произведения диагоналей.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».