Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XI, задание 1086

Задача 1

Условие (кратко)

(Задача для решения с компьютером.) Три вершины параллелограмма — (−4; 4), (−5; 1) и (−1; 5). Найдите координаты четвёртой вершины. Сколько решений имеет задача?

Решение

Дано

$$P(-4; 4)$$
$$Q(-5; 1)$$
$$R(-1; 5)$$ — три вершины параллелограмма

Найти

четвёртую вершину $$T(x; y)$$

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому у противоположных вершин общая середина. Четвёртая вершина лежит напротив одной из трёх данных — три случая.
$$T$$ напротив $$R$$ (диагонали $$RT$$ и $$PQ$$ ): $$T = P + Q - R$$ , то есть $$x = -4 - 5 + 1 = -8$$ , $$y = 4 + 1 - 5 = 0$$ , получаем $$T(-8; 0)$$ .
$$T$$ напротив $$Q$$ : $$x = -4 - 1 + 5 = 0$$ , $$y = 4 + 5 - 1 = 8$$ , получаем $$T(0; 8)$$ .
$$T$$ напротив $$P$$ : $$x = -5 - 1 + 4 = -2$$ , $$y = 1 + 5 - 4 = 2$$ , получаем $$T(-2; 2)$$ .

Три данные точки не лежат на одной прямой, поэтому все три параллелограмма существуют.

Ответ

(0; 8), (−2; 2) или (−8; 0) — три решения

Почему так

Середины диагоналей параллелограмма совпадают, а четвёртая вершина может лежать напротив любой из трёх данных.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).