Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1087

Дополнительные задачи к главе XI

Задача 1

Условие (кратко)

Является ли уравнение (x − 1)² + (y + 2)² = 25 уравнением окружности? Если да, найдите координаты центра и радиус.

Решение
Дано
  • \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\)
Найти
  • центр и радиус
  • если это окружность

Уравнение уже имеет вид \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\), где \(x_0 = 1\), \(y_0 = -2\) (так как \(y + 2 = y - (-2)\)), \(r^2 = 25\), \(r = 5\). Это окружность.

Ответ
Окружность с центром (1; −2) и радиусом 5
Почему так

Уравнение окружности с центром (x₀; y₀) и радиусом r имеет вид (x − x₀)² + (y − y₀)² = r².

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

Является ли уравнение x² + (y + 7)² = 1 уравнением окружности? Если да, найдите координаты центра и радиус.

Решение
Дано
  • \(x^2 + (y + 7)^2 = 1\)
Найти
  • центр и радиус
  • если это окружность

Запишем \(x^2 = (x - 0)^2\) и \(y + 7 = y - (-7)\). Получаем уравнение окружности с центром \((0; -7)\) и \(r^2 = 1\), \(r = 1\).

Ответ
Окружность с центром (0; −7) и радиусом 1
Почему так

Уравнение окружности с центром (x₀; y₀) и радиусом r имеет вид (x − x₀)² + (y − y₀)² = r².

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 3

Условие (кратко)

Является ли уравнение x² + y² + 8x − 4y + 40 = 0 уравнением окружности? Если да, найдите координаты центра и радиус.

Решение
Дано
  • \(x^2 + y^2 + 8x - 4y + 40 = 0\)
Найти
  • центр и радиус
  • если это окружность

  1. Выделим полные квадраты: \(x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16\), \(y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4\).

  2. Уравнение принимает вид \((x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 20 + 40 = 0\), то есть \((x + 4)^2 + (y - 2)^2 = -20\).

  3. Сумма квадратов не может быть отрицательной, поэтому ни одна точка не удовлетворяет уравнению. Это не окружность.

Ответ
Не является уравнением окружности (ему не удовлетворяет ни одна точка)
Почему так

После выделения полных квадратов справа получается отрицательное число, а сумма квадратов не бывает отрицательной.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 4

Условие (кратко)

Является ли уравнение x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0 уравнением окружности? Если да, найдите координаты центра и радиус.

Решение
Дано
  • \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0\)
Найти
  • центр и радиус
  • если это окружность

  1. Выделим полные квадраты: \(x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1\), \(y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4\).

  2. Получаем \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0\), то есть \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).

  3. Это окружность с центром \((1; -2)\) и радиусом \(r = 5\) — та же, что в задаче 1.

Ответ
Окружность с центром (1; −2) и радиусом 5
Почему так

Выделение полных квадратов приводит уравнение к виду (x − x₀)² + (y − y₀)² = r².

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 5

Условие (кратко)

Является ли уравнение x² + y² − 4x − 2y + 1 = 0 уравнением окружности? Если да, найдите координаты центра и радиус.

Решение
Дано
  • \(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0\)
Найти
  • центр и радиус
  • если это окружность

  1. Выделим полные квадраты: \(x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4\), \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\).

  2. Получаем \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0\), то есть \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\).

  3. Это окружность с центром \((2; 1)\) и радиусом \(r = 2\).

Ответ
Окружность с центром (2; 1) и радиусом 2
Почему так

Выделение полных квадратов приводит уравнение к виду (x − x₀)² + (y − y₀)² = r².

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-11/upr-1087/