Точку подставили в левую часть уравнения окружности (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9 и получили 4. Где лежит точка?

Определить нельзя

Что значит «уравнение F — уравнение линии L»?

Координаты всех точек линии удовлетворяют уравнению, а других точек — нет

Координаты хотя бы одной точки линии удовлетворяют уравнению

Уравнение содержит переменные x и y

Линию можно построить по точкам из уравнения

Уравнение окружности — 9 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Простейшие задачи в координатах

Коротко о главном

Уравнение линии — это уравнение с $$x$$ и $$y$$ , которому удовлетворяют координаты всех точек линии и только они. Окружность с центром $$C(x_0; y_0)$$ и радиусом $$r$$ задаётся уравнением

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]

Подробное объяснение

Как объяснить компьютеру, что такое окружность? Нарисовать он не поймёт, а вот проверить равенство из чисел — легко. Метод координат превращает фигуры в уравнения: точка лежит на фигуре, если её координаты дают верное равенство.

Уравнение линии

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и линия $$L$$ . Уравнение с переменными $$x$$ и $$y$$ называют уравнением линии $$L$$ , если:

координаты любой точки линии $$L$$ ему удовлетворяют;
координаты никакой точки вне линии ему не удовлетворяют.

Знакомый пример из алгебры — $$y = x$$ . Ему удовлетворяют точки $$(0; 0)$$ , $$(1; 1)$$ , $$(-3; -3)$$ , все они лежат на одной прямой, а, например, точка $$(1; 2)$$ не подходит и на прямой не лежит. Значит, $$y = x$$ — уравнение этой прямой.

С уравнениями линий связаны две задачи: по свойствам линии найти её уравнение и, наоборот, по уравнению понять, какая это линия. Первую задачу решим для окружности.

Вывод уравнения окружности

Окружность — множество точек, удалённых от центра $$C(x_0; y_0)$$ на расстояние $$r$$ . Возьмём любую точку $$M(x; y)$$ . По формуле расстояния между точками

MC = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}.

Если $$M$$ на окружности, то $$MC = r$$ , а значит, $$MC^2 = r^2$$ . Если $$M$$ не на окружности, то $MC \ne r$ и $MC^2 \ne r^2$ . Поэтому

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]

— уравнение окружности. Если центр в начале координат, оно короче, $$x^2 + y^2 = r^2$$ .

Окружность с центром C(x₀; y₀) и точкой M(x; y) на ней. Радиус CM — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами x − x₀ и y − y₀. — По теореме Пифагора (x − x₀)² + (y − y₀)² = r² для любой точки M окружности.

Как читать уравнение

В скобках вычитаются координаты центра. Поэтому $$(x + 2)^2$$ означает $$x_0 = -2$$ , а просто $$y^2$$ — что $$y_0 = 0$$ .
Справа стоит квадрат радиуса: при $$r^2 = 2$$ радиус равен $\sqrt{2}$ .
Левая часть — квадрат расстояния от точки до центра. Если для какой-то точки она меньше $$r^2$$ , точка лежит внутри круга, если больше — снаружи.

Раскрыв скобки, уравнение можно записать по-другому. Например, $$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$$ превращается в $$x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$$ — это та же окружность. Чтобы снова увидеть центр и радиус, выделяют полные квадраты.

Как решать задачи

Найдите центр: он дан, или это середина диаметра, или его координаты неизвестны — тогда обозначьте их буквами.
Найдите $$r^2$$ — квадрат расстояния от центра до известной точки окружности. Извлекать корень не обязательно.
Подставьте всё в $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$ , следите за знаками.
Если центр неизвестен, запишите условия «точка лежит на окружности» как уравнения и решите их.
Проверка: подставьте известную точку окружности — должно получиться верное равенство.

Разобранные примеры

База

Центр и радиус по уравнению

Условие

Найдите центр и радиус окружности $$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 3$$ .

Решение

Запишем уравнение в виде $(x - 6)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{3})^2$ . Центр $$(6; -1)$$ , радиус $\sqrt{3}$ .

Ответ: Центр (6; −1), радиус √3

Средний

Окружность по диаметру

Условие

Концы диаметра окружности — точки $$P(-2; 3)$$ и $$Q(4; -5)$$ . Напишите уравнение окружности.

Дано

$$PQ$$ — диаметр
$$P(-2; 3)$$
$$Q(4; -5)$$

Найти

уравнение окружности

Решение

Центр — середина $$PQ$$ : $C\left(\dfrac{-2 + 4}{2}; \dfrac{3 - 5}{2}\right) = C(1; -1)$ .

Квадрат радиуса $$r^2 = CP^2 = (-2 - 1)^2 + (3 + 1)^2 = 9 + 16 = 25$$ .

Уравнение $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$$ . Проверка по точке $$Q$$ даёт $$3^2 + (-4)^2 = 25$$ , верно.

Ответ: (x − 1)² + (y + 1)² = 25

Сложный

Центр на оси абсцисс

Условие

Окружность радиуса 13 проходит через точку $$A(2; 12)$$ , а её центр лежит на оси $$Ox$$ . Напишите уравнение окружности.

Дано

$$r = 13$$
$$A(2; 12)$$ на окружности
центр на оси $$Ox$$

Найти

уравнение окружности

Решение

Центр $$C(a; 0)$$ , уравнение $$(x - a)^2 + y^2 = 169$$ . Точка $$A$$ на окружности, поэтому $$(2 - a)^2 + 144 = 169$$ , откуда $$(2 - a)^2 = 25$$ .

$$2 - a = 5$$ или $$2 - a = -5$$ , то есть $$a = -3$$ или $$a = 7$$ . Подходят обе окружности.

Ответ: (x + 3)² + y² = 169 или (x − 7)² + y² = 169

Типичные ошибки

Переносят знак координаты центра в скобку как есть

Почему неверно

В уравнении стоит разность $$x - x_0$$ . Для центра $$(-3; 2)$$ получится $$x - (-3) = x + 3$$ , а не $$x - 3$$ . Иначе центр окажется в точке $$(3; 2)$$ — с другой стороны от оси $$Oy$$ .

Как правильно

Сначала запишите разность с координатой в скобках, $$x - (-3)$$ , потом упростите. Обратно — читайте знак наоборот: $$(y + 5)$$ означает $$y_0 = -5$$ .

Пишут справа радиус вместо его квадрата

Почему неверно

Уравнение получено из равенства $$MC^2 = r^2$$ . Если для окружности радиуса 4 написать справа 4, получится окружность радиуса 2.

Как правильно

Справа всегда $$r^2$$ : радиус 4 — пишем 16, радиус $\sqrt{5}$ — пишем 5. А по уравнению радиус находят извлечением корня из правой части.

Забывают второй корень

Почему неверно

При поиске неизвестной координаты получается квадратное уравнение вида $$(2 - a)^2 = 25$$ . Если взять только $$a = -3$$ , потеряется вторая окружность.

Как правильно

Из $$t^2 = 25$$ следует $$t = 5$$ или $$t = -5$$ . Разберите оба случая и проверьте, подходят ли они по условию.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите координаты центра и радиус окружности $$(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$$ .

Подсказка

Сравните с уравнением $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$ . Справа стоит квадрат радиуса.

Решение

$$(x - (-4))^2 + (y - 1)^2 = 6^2$$ , поэтому центр $$(-4; 1)$$ , радиус $$r = 6$$ .

Ответ

Центр (−4; 1), радиус 6

База Задача 2

Напишите уравнение окружности с центром $$K(2; -5)$$ и радиусом 3.

Подсказка

Подставьте координаты центра и радиус в общее уравнение окружности.

Решение

$$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = 3^2$$ , то есть $$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$$ .

Ответ

(x − 2)² + (y + 5)² = 9

Средний Задача 3

Окружность с центром $$P(-1; 2)$$ проходит через точку $$T(3; 5)$$ . Напишите её уравнение.

Подсказка

Радиус равен расстоянию $$PT$$ .

Решение

$$r^2 = PT^2 = (3 + 1)^2 + (5 - 2)^2 = 16 + 9 = 25$$ . Уравнение $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$ .

Ответ

(x + 1)² + (y − 2)² = 25

Средний Задача 4

Лежит ли точка $$N(1; -1)$$ внутри круга, ограниченного окружностью $$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 16$$ , на окружности или вне круга?

Подсказка

Подставьте координаты в левую часть и сравните результат с 16.

Решение

$$(1 - 4)^2 + (-1 + 3)^2 = 9 + 4 = 13$$ . Это квадрат расстояния от $$N$$ до центра; $$13 < 16$$ , значит, $$N$$ ближе к центру, чем на радиус, — внутри круга.

Ответ

Внутри круга

Сложный Задача 5

Найдите центр и радиус окружности $$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$$ .

Подсказка

Выделите полные квадраты, $$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$ .

Решение

$$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 15 + 9 + 1$$ , то есть $$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$$ . Центр $$(3; -1)$$ , радиус 5.

Ответ

Центр (3; −1), радиус 5

Сложный Задача 6

Центр окружности лежит на оси $$Oy$$ , а сама окружность проходит через точки $$(4; 0)$$ и $$(0; 8)$$ . Напишите её уравнение.

Подсказка

Центр $$(0; b)$$ равноудалён от обеих точек.

Решение

Центр $$(0; b)$$ . Из равенства расстояний $$16 + b^2 = (8 - b)^2 = 64 - 16b + b^2$$ , откуда $$16b = 48$$ , $$b = 3$$ . Тогда $$r^2 = 16 + 9 = 25$$ , уравнение $$x^2 + (y - 3)^2 = 25$$ .

Ответ

x² + (y − 3)² = 25

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку, нарисуйте оси и циркулем окружность с центром $$(2; 1)$$ и радиусом 5. Отметьте на ней точку с «круглыми» координатами, например $$(5; 5)$$ : от центра до неё 3 клетки вправо и 4 вверх, а $$3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$$ . Это и есть уравнение окружности — теорема Пифагора, записанная для любой её точки. Вопросы для проверки понимания: 1) Где центр и какой радиус у окружности $$(x + 1)^2 + y^2 = 9$$ ? 2) Как проверить, лежит ли точка на окружности, не рисуя её? 3) Почему справа пишут $$r^2$$ , а не $$r$$ ? На что обратить внимание. Главные ошибки — знак в скобках и квадрат радиуса; попросите ребёнка вслух назвать центр и радиус нескольких уравнений.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 97	—
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 98	1045, 1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051, 1052, 1053, 1054, 1055, 1056, 1057, 1067, 1068, 1069, 1070, 1071