Задача 1
Условие (кратко)
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(3; 0) и B(−1; 2), если её центр лежит на прямой y = x + 2.
Решение
Дано
- окружность проходит через \(A(3; 0)\) и \(B(-1; 2)\)
- центр \(O\) лежит на прямой \(y = x + 2\)
Найти
- уравнение окружности
-
Центр на прямой \(y = x + 2\), поэтому \(O(a; a + 2)\).
-
\(OA = OB\) (радиусы), значит, \(OA^2 = OB^2\), то есть \((a - 3)^2 + (a + 2)^2 = (a + 1)^2 + a^2\).
-
Раскрываем скобки: \(2a^2 - 2a + 13 = 2a^2 + 2a + 1\), откуда \(4a = 12\), \(a = 3\). Центр \(O(3; 5)\).
-
\(r^2 = OA^2 = (3 - 3)^2 + (5 - 0)^2 = 25\).
Уравнение: \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\). Проверка для \(B\): \(16 + 9 = 25\).
Ответ
(x − 3)² + (y − 5)² = 25
Почему так
Центр равноудалён от двух точек окружности, а условие на прямую задаёт его координаты через одну неизвестную.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».