Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1089

Дополнительные задачи к главе XI

Задача 1

Условие (кратко)

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(1; −4), B(4; 5), C(3; −2).

Решение

Дано

$$A(1; -4)$$
$$B(4; 5)$$
$$C(3; -2)$$ лежат на окружности

Найти

её уравнение

Пусть центр $$O(a; b)$$ . Тогда $$OA^2 = OB^2 = OC^2$$ .
$$OA^2 = OC^2$$ , то есть $$(a - 1)^2 + (b + 4)^2 = (a - 3)^2 + (b + 2)^2$$ . После раскрытия скобок квадраты сокращаются: $$-2a + 1 + 8b + 16 = -6a + 9 + 4b + 4$$ , то есть $$4a + 4b = -4$$ , $$a + b = -1$$ .
$$OB^2 = OC^2$$ , то есть $$(a - 4)^2 + (b - 5)^2 = (a - 3)^2 + (b + 2)^2$$ , откуда $$-8a + 16 - 10b + 25 = -6a + 9 + 4b + 4$$ , то есть $$2a + 14b = 28$$ , $$a + 7b = 14$$ .
Вычитая из второго уравнения первое, получаем $$6b = 15$$ , $b = \dfrac{5}{2}$ , тогда $a = -1 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{7}{2}$ .
$r^2 = OC^2 = \left(-\dfrac{7}{2} - 3\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2} + 2\right)^2 = \dfrac{169}{4} + \dfrac{81}{4} = \dfrac{125}{2}$ .

Уравнение: $\left(x + \dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{125}{2}$ .

Ответ

(x + 7/2)² + (y − 5/2)² = 125/2

Почему так

Центр окружности равноудалён от трёх данных точек; два равенства расстояний дают систему для его координат.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(3; −7), B(8; −2), C(6; 2).

Решение

Дано

$$A(3; -7)$$
$$B(8; -2)$$
$$C(6; 2)$$ лежат на окружности

Найти

её уравнение

Пусть центр $$O(a; b)$$ ; $$OA^2 = OB^2 = OC^2$$ .
$$OA^2 = OB^2$$ , то есть $$(a - 3)^2 + (b + 7)^2 = (a - 8)^2 + (b + 2)^2$$ , откуда $$-6a + 9 + 14b + 49 = -16a + 64 + 4b + 4$$ , то есть $$10a + 10b = 10$$ , $$a + b = 1$$ .
$$OB^2 = OC^2$$ , то есть $$(a - 8)^2 + (b + 2)^2 = (a - 6)^2 + (b - 2)^2$$ , откуда $$-16a + 64 + 4b + 4 = -12a + 36 - 4b + 4$$ , то есть $$4a - 8b = 28$$ , $$a - 2b = 7$$ .
Вычитая, получаем $$3b = -6$$ , $$b = -2$$ , $$a = 3$$ . Центр $$O(3; -2)$$ .
$$r^2 = OA^2 = 0^2 + (-7 + 2)^2 = 25$$ .

Уравнение: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ . Проверка: для $$B$$ — $$25 + 0 = 25$$ , для $$C$$ — $$9 + 16 = 25$$ .

Ответ

(x − 3)² + (y + 2)² = 25

Почему так

Центр окружности равноудалён от трёх данных точек; два равенства расстояний дают систему для его координат.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-11/upr-1089/