Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1090

Задача 1

Условие (кратко)

Вершины треугольника — A(−7; 5), B(3; −1), C(5; 3). Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Решение

Дано

$$A(-7; 5)$$
$$B(3; -1)$$
$$C(5; 3)$$

Найти

уравнения серединных перпендикуляров к $$AB$$
$$BC$$
$$CA$$

Серединный перпендикуляр к отрезку — множество точек $$M(x; y)$$ , равноудалённых от его концов. Запишем равенство квадратов расстояний; квадраты $$x^2$$ и $$y^2$$ сократятся.

К $$AB$$ : $$(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y + 1)^2$$ , то есть $$14x + 49 - 10y + 25 = -6x + 9 + 2y + 1$$ , откуда $$20x - 12y + 64 = 0$$ , или $$5x - 3y + 16 = 0$$ .
К $$BC$$ : $$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2$$ , то есть $$-6x + 9 + 2y + 1 = -10x + 25 - 6y + 9$$ , откуда $$4x + 8y - 24 = 0$$ , или $$x + 2y - 6 = 0$$ .
К $$CA$$ : $$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = (x + 7)^2 + (y - 5)^2$$ , то есть $$-10x + 25 - 6y + 9 = 14x + 49 - 10y + 25$$ , откуда $$-24x + 4y - 40 = 0$$ , или $$6x - y + 10 = 0$$ .

Проверка: середина $$AB$$ — точка $$(-2; 2)$$ , и $5 \cdot (-2) - 3 \cdot 2 + 16 = 0$ .

Ответ

5x − 3y + 16 = 0, x + 2y − 6 = 0, 6x − y + 10 = 0

Почему так

Серединный перпендикуляр — множество точек, равноудалённых от концов отрезка; равенство расстояний даёт уравнение первой степени.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».

Задача 2

Условие (кратко)

Вершины треугольника — A(−7; 5), B(3; −1), C(5; 3). Составьте уравнения прямых AB, BC и CA.

Решение

Дано

$$A(-7; 5)$$
$$B(3; -1)$$
$$C(5; 3)$$

Найти

уравнения прямых $$AB$$
$$BC$$
$$CA$$

Ищем прямую в виде $$ax + by + c = 0$$ и подставляем координаты двух её точек.

$$AB$$ : $$-7a + 5b + c = 0$$ и $$3a - b + c = 0$$ . Вычитая, $$-10a + 6b = 0$$ , $b = \dfrac{5}{3}a$ . Возьмём $$a = 3$$ , тогда $$b = 5$$ , $$c = -3a + b = -4$$ , получаем $$3x + 5y - 4 = 0$$ .
$$BC$$ : $$3a - b + c = 0$$ и $$5a + 3b + c = 0$$ . Вычитая, $$2a + 4b = 0$$ , $$a = -2b$$ . Возьмём $$b = -1$$ , $$a = 2$$ , $$c = -3a + b = -7$$ , получаем $$2x - y - 7 = 0$$ .
$$CA$$ : $$5a + 3b + c = 0$$ и $$-7a + 5b + c = 0$$ . Вычитая, $$12a - 2b = 0$$ , $$b = 6a$$ . Возьмём $$a = 1$$ , $$b = 6$$ , $$c = -5 - 18 = -23$$ , получаем $$x + 6y - 23 = 0$$ .

Проверка: $$C(5; 3)$$ на $$BC$$ — $$10 - 3 - 7 = 0$$ ; $$A(-7; 5)$$ на $$CA$$ — $$-7 + 30 - 23 = 0$$ .

Ответ

AB: 3x + 5y − 4 = 0; BC: 2x − y − 7 = 0; CA: x + 6y − 23 = 0

Почему так

Координаты двух точек прямой, подставленные в ax + by + c = 0, определяют коэффициенты с точностью до множителя.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».

Задача 3

Условие (кратко)

Вершины треугольника — A(−7; 5), B(3; −1), C(5; 3). Составьте уравнения прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Решение

Дано

$$A(-7; 5)$$
$$B(3; -1)$$
$$C(5; 3)$$

Найти

уравнения прямых
содержащих средние линии

Середины сторон: $$AB$$ — $$M(-2; 2)$$ , $$BC$$ — $$N(4; 1)$$ , $$CA$$ — $$K(-1; 4)$$ .
$$MN$$ : $$-2a + 2b + c = 0$$ и $$4a + b + c = 0$$ . Вычитая, $$6a - b = 0$$ , $$b = 6a$$ ; при $$a = 1$$ , получаем $$b = 6$$ , $$c = -10$$ . Прямая $$x + 6y - 10 = 0$$ (параллельна $$CA$$ ).
$$NK$$ : $$4a + b + c = 0$$ и $$-a + 4b + c = 0$$ . Вычитая, $$5a - 3b = 0$$ ; при $$a = 3$$ , $$b = 5$$ , получаем $$c = -17$$ . Прямая $$3x + 5y - 17 = 0$$ (параллельна $$AB$$ ).
$$KM$$ : $$-a + 4b + c = 0$$ и $$-2a + 2b + c = 0$$ . Вычитая, $$a + 2b = 0$$ ; при $$b = -1$$ , $$a = 2$$ , получаем $$c = 6$$ . Прямая $$2x - y + 6 = 0$$ (параллельна $$BC$$ ).

Ответ

3x + 5y − 17 = 0, 2x − y + 6 = 0, x + 6y − 10 = 0

Почему так

Средняя линия проходит через середины двух сторон, их координаты — полусуммы координат вершин.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-11/upr-1090/