Уравнение прямой — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Уравнение линии. Уравнение окружности

Коротко о главном

Любая прямая в прямоугольной системе координат задаётся уравнением первой степени, где $$a$$ и $$b$$ не равны нулю одновременно:

\[ax + by + c = 0\]

Прямая, параллельная оси $$Oy$$ , имеет уравнение $$x = x_0$$ , а при $b \ne 0$ уравнение можно записать как $$y = kx + d$$ .

Подробное объяснение

Графики $$y = 2x + 1$$ или $$y = -x$$ вы строили в алгебре — это прямые. Но вертикальную прямую так не запишешь: она не график функции. Геометрия даёт общий ответ, какими уравнениями задаются прямые, и выводит его из знакомого свойства.

Вывод уравнения прямой

Возьмём прямую $$l$$ и выберем две точки $$A(x_1; y_1)$$ и $$B(x_2; y_2)$$ , симметричные относительно неё, — так, чтобы $$l$$ была серединным перпендикуляром к $$AB$$ . Точка $$M(x; y)$$ лежит на $$l$$ тогда и только тогда, когда она равноудалена от $$A$$ и $$B$$ , то есть $$AM^2 = BM^2$$ :

\[(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2.\]

Отрезок AB и прямая l — серединный перпендикуляр к нему. Точка M на прямой l соединена пунктиром с A и B, отрезки AM и BM равны. — Точка M лежит на прямой l тогда и только тогда, когда AM = BM.

Раскроем скобки: $$x^2$$ и $$y^2$$ сократятся, останется уравнение вида $$ax + by + c = 0$$ , где $$a = 2(x_2 - x_1)$$ , $$b = 2(y_2 - y_1)$$ . Точки $$A$$ и $$B$$ различны, поэтому $$a$$ и $$b$$ не могут быть оба нулями. Вывод: уравнение прямой — уравнение первой степени.

Особые случаи

Прямая, параллельная оси $$Oy$$ , через точку $$(x_0; y_0)$$ : у всех её точек абсцисса $$x_0$$ , уравнение $$x = x_0$$ .
Прямая, параллельная оси $$Ox$$ : уравнение $$y = y_0$$ .
Ось $$Ox$$ — это $$y = 0$$ , ось $$Oy$$ — это $$x = 0$$ .

Угловой коэффициент

Если $b \ne 0$ , уравнение можно решить относительно $$y$$ :

y = kx + d, \quad k = -\frac{a}{b}, \quad d = -\frac{c}{b}.

Число $$k$$ называется угловым коэффициентом. У параллельных прямых, не параллельных оси $$Oy$$ , угловые коэффициенты равны, и наоборот: прямые с одинаковым $$k$$ параллельны (или совпадают, если ещё и $$d$$ одинаковое).

Уравнение не единственное

Если все коэффициенты умножить на одно число, не равное нулю, прямая не изменится: $$x - 2y + 3 = 0$$ и $$2x - 4y + 6 = 0$$ — одна и та же прямая. Обычно коэффициенты сокращают до целых чисел без общего множителя.

Как решать задачи

Прямая через две точки: подставьте обе точки в $$ax + by + c = 0$$ , получите два равенства и выразите два коэффициента через третий.
Сократите на общий множитель и запишите ответ с целыми коэффициентами.
Если у точек одинаковые абсциссы — сразу $$x = x_0$$ , одинаковые ординаты — $$y = y_0$$ .
Общие точки прямой и окружности (или двух прямых) — это решения системы из их уравнений. Сколько решений, столько общих точек.
Проверка: подставьте каждую данную точку — должен получиться ноль.

Разобранные примеры

База

Проверка точки

Условие

Лежит ли точка $$D(-2; 5)$$ на прямой $$4x + y + 3 = 0$$ ?

Решение

Подставим координаты, получим $4 \cdot (-2) + 5 + 3 = 0$ . Равенство верное, значит, точка лежит на прямой.

Ответ: Да, лежит

Средний

Прямая через две точки

Условие

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $$E(2; -1)$$ и $$F(-1; 5)$$ .

Дано

$$E(2; -1)$$
$$F(-1; 5)$$

Найти

уравнение прямой $$EF$$

Решение

Подставим точки в $$ax + by + c = 0$$ , получим $$2a - b + c = 0$$ и $$-a + 5b + c = 0$$ .

Вычтем из первого второе: $$3a - 6b = 0$$ , откуда $$a = 2b$$ . Тогда $$c = b - 2a = -3b$$ .

Уравнение $$2bx + by - 3b = 0$$ ; разделим на $$b$$ , получим $$2x + y - 3 = 0$$ .

Проверка: $$4 - 1 - 3 = 0$$ и $$-2 + 5 - 3 = 0$$ .

Ответ: 2x + y − 3 = 0

Сложный

Прямая и окружность

Условие

Сколько общих точек у прямой $$y = 2$$ и окружности $$(x - 1)^2 + y^2 = 4$$ ?

Решение

Подставим $$y = 2$$ в уравнение окружности, получим $$(x - 1)^2 + 4 = 4$$ , $$(x - 1)^2 = 0$$ , $$x = 1$$ .

Решение одно — точка $$(1; 2)$$ . Прямая касается окружности: она удалена от центра $$(1; 0)$$ ровно на радиус 2.

Ответ: Одна общая точка (1; 2)

Типичные ошибки

Считают, что любую прямую можно записать как y = kx + d

Почему неверно

Прямая, параллельная оси $$Oy$$ , например $$x = 3$$ , не является графиком функции: при $$x = 3$$ подходит любое $$y$$ . В форме $$y = kx + d$$ её не записать.

Как правильно

Общий вид — $$ax + by + c = 0$$ . При $$b = 0$$ получается $x = -\dfrac{c}{a}$ — вертикальная прямая. Если у двух данных точек одинаковые абсциссы, сразу пишите $$x = x_0$$ .

Путают уравнения x = 3 и y = 3

Почему неверно

$$x = 3$$ — это все точки с абсциссой 3, вертикальная прямая. $$y = 3$$ — горизонтальная. Если их перепутать, прямая повернётся на $90^\circ$ .

Как правильно

Задайте себе вопрос: какая координата у всех точек одинаковая? Одинаковая абсцисса — прямая параллельна $$Oy$$ , одинаковая ордината — параллельна $$Ox$$ .

Не проверяют ответ подстановкой

Почему неверно

При решении системы для коэффициентов легко ошибиться в знаке, и уравнение получится для другой прямой.

Как правильно

Подставьте обе данные точки в найденное уравнение. Если хотя бы одна не даёт ноль — ищите ошибку.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Напишите уравнения прямых, проходящих через точку $$K(-3; 4)$$ параллельно осям координат.

Подсказка

У всех точек прямой, параллельной оси $$Oy$$ , одна и та же абсцисса.

Решение

Прямая, параллельная оси $$Oy$$ , имеет уравнение $$x = -3$$ ; прямая, параллельная оси $$Ox$$ , — уравнение $$y = 4$$ .

Ответ

x = −3 и y = 4

База Задача 2

Лежат ли точки $$A(2; 1)$$ и $$B(-1; 3)$$ на прямой $$2x + 3y - 7 = 0$$ ?

Подсказка

Подставьте координаты в левую часть уравнения.

Решение

Для $$A$$ получаем $$4 + 3 - 7 = 0$$ — лежит. Для $$B$$ получаем $$-2 + 9 - 7 = 0$$ — тоже лежит.

Ответ

Обе точки лежат на прямой

Средний Задача 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $$P(1; 2)$$ и $$Q(3; 8)$$ .

Подсказка

Подставьте обе точки в $$ax + by + c = 0$$ и выразите $$a$$ и $$c$$ через $$b$$ .

Решение

Получаем $$a + 2b + c = 0$$ и $$3a + 8b + c = 0$$ . Вычтем, $$2a + 6b = 0$$ , $$a = -3b$$ , тогда $$c = -a - 2b = b$$ . Уравнение $$-3bx + by + b = 0$$ ; делим на $$-b$$ и получаем $$3x - y - 1 = 0$$ . Проверка — $$3 - 2 - 1 = 0$$ и $$9 - 8 - 1 = 0$$ .

Ответ

3x − y − 1 = 0

Средний Задача 4

Прямая проходит через точки $$A(-2; 0)$$ и $$B(2; 6)$$ . Найдите ординату точки этой прямой с абсциссой 4.

Подсказка

Сначала найдите уравнение прямой в виде $$y = kx + d$$ .

Решение

Подставим точки в $$y = kx + d$$ , получим $$0 = -2k + d$$ и $$6 = 2k + d$$ . Сложим, $$2d = 6$$ , $$d = 3$$ , тогда $$k = 1{,}5$$ . Уравнение $$y = 1{,}5x + 3$$ , при $$x = 4$$ получаем $$y = 9$$ .

Ответ

9

Сложный Задача 5

Найдите точки пересечения прямой $$y = x + 1$$ и окружности $$x^2 + y^2 = 25$$ .

Подсказка

Подставьте $$y = x + 1$$ в уравнение окружности.

Решение

$$x^2 + (x + 1)^2 = 25$$ , $$2x^2 + 2x - 24 = 0$$ , $$x^2 + x - 12 = 0$$ , корни $$x = 3$$ и $$x = -4$$ . Тогда $$y = 4$$ и $$y = -3$$ . Точки $$(3; 4)$$ и $$(-4; -3)$$ .

Ответ

(3; 4) и (−4; −3)

Сложный Задача 6

Даны точки $$A(0; 0)$$ и $$B(4; 2)$$ . Напишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$ .

Подсказка

Точка $$M(x; y)$$ лежит на нём тогда и только тогда, когда $$AM^2 = BM^2$$ .

Решение

$$x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2$$ . Раскроем скобки, $$0 = -8x + 16 - 4y + 4$$ , то есть $$2x + y - 5 = 0$$ . Проверка — середина $$AB$$ , точка $$(2; 1)$$ , удовлетворяет уравнению, $$4 + 1 - 5 = 0$$ .

Ответ

2x + y − 5 = 0

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. На листе в клетку нарисуйте оси и отметьте две точки, например $$(0; 1)$$ и $$(2; 5)$$ . Проведите через них линейкой прямую и найдите на ней ещё пару точек: $$(1; 3)$$ , $$(3; 7)$$ . Заметьте закономерность: $$y$$ всегда на 1 больше удвоенного $$x$$ , то есть $$y = 2x + 1$$ , или $$2x - y + 1 = 0$$ . Это и есть уравнение прямой. Отдельно покажите вертикальную прямую $$x = 3$$ — у неё нет «формулы для $$y$$ ». Вопросы для проверки понимания: 1) Какое уравнение у оси $$Ox$$ ? 2) Как проверить, лежит ли точка на прямой? 3) Почему у прямой бесконечно много уравнений? На что обратить внимание. Привычка из алгебры писать только $$y = kx + d$$ — главная ловушка: напомните про прямые $$x = x_0$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 99	1058, 1059, 1060, 1061, 1062, 1063, 1064, 1065, 1066, 1072, 1073, 1074, 1075