Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что прямые 3x − 1,5y + 1 = 0 и 2x − y − 3 = 0 параллельны.
Решение
Дано: прямые \(3x - 1{,}5y + 1 = 0\) и \(2x - y - 3 = 0\). Доказать: они параллельны.
-
Две различные прямые на плоскости параллельны, если у них нет общих точек. Проверим, есть ли решение у системы из двух уравнений.
-
Из второго уравнения \(y = 2x - 3\). Подставим в первое: \(3x - 1{,}5(2x - 3) + 1 = 3x - 3x + 4{,}5 + 1 = 5{,}5\).
-
Получилось \(5{,}5 = 0\) — неверно при любом \(x\). Значит, система решений не имеет, общих точек у прямых нет, и они параллельны.
Ответ
Утверждение доказано: у прямых нет общих точек
Почему так
Прямые, не имеющие общих точек, параллельны; это проверяется тем, что система их уравнений не имеет решений.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».