Задание 1092

Дано: \(A(-2; 0)\), \(B\left(3; 2\dfrac{1}{2}\right)\), \(C(6; 4)\). Доказать: точки лежат на одной прямой.

1. Составим уравнение прямой \(AC\) в виде \(ax + by + c = 0\), подставляя точки, получаем \(-2a + c = 0\) и \(6a + 4b + c = 0\). Отсюда \(c = 2a\), \(8a + 4b = 0\), \(b = -2a\). При \(a = 1\), получаем \(x - 2y + 2 = 0\).

2. Подставим \(B\): \(3 - 2 \cdot 2{,}5 + 2 = 0\) — верно. Значит, \(B\) лежит на прямой \(AC\).

Дано: \(A(3; 10)\), \(B(3; 12)\), \(C(3; -6)\). Доказать: точки лежат на одной прямой.

Абсциссы всех трёх точек равны 3, поэтому все они удовлетворяют уравнению \(x = 3\) — уравнению прямой, параллельной оси ординат. Значит, точки лежат на одной прямой.

Дано: \(A(1; 2)\), \(B(2; 5)\), \(C(-10; -31)\). Доказать: точки лежат на одной прямой.

1. Прямая \(AB\) в виде \(ax + by + c = 0\), подставляя точки, получаем \(a + 2b + c = 0\) и \(2a + 5b + c = 0\). Вычитая, \(a + 3b = 0\), \(a = -3b\). При \(b = -1\), получаем \(a = 3\), \(c = -a - 2b = -1\). Прямая \(3x - y - 1 = 0\).

2. Подставим \(C\): \(3 \cdot (-10) - (-31) - 1 = -30 + 31 - 1 = 0\) — верно. Значит, \(C\) лежит на прямой \(AB\).