Задача 1
Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = 17\) см
- \(BC = 28\) см
- высота \(AH\) к \(BC\) равна 15 см
- медианы
-
Введём координаты: \(B(0; 0)\), \(C(28; 0)\), вершина \(A(p; 15)\) (высота 15). Так как \(AB = 17\), то \(p^2 + 15^2 = 17^2\), \(p^2 = 64\), \(p = 8\) или \(p = -8\). Два разных треугольника — два ответа.
-
Случай \(A(8; 15)\). Середины: \(BC\) — \((14; 0)\), \(AC\) — \((18; 7{,}5)\), \(AB\) — \((4; 7{,}5)\). \(m_A = \sqrt{6^2 + 15^2} = \sqrt{261}\); \(m_B = \sqrt{18^2 + 7{,}5^2} = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5\); \(m_C = \sqrt{24^2 + 7{,}5^2} = \sqrt{632{,}25} = \dfrac{\sqrt{2529}}{2}\).
-
Случай \(A(-8; 15)\). Середины: \(BC\) — \((14; 0)\), \(AC\) — \((10; 7{,}5)\), \(AB\) — \((-4; 7{,}5)\). \(m_A = \sqrt{22^2 + 15^2} = \sqrt{709}\); \(m_B = \sqrt{10^2 + 7{,}5^2} = \sqrt{156{,}25} = 12{,}5\); \(m_C = \sqrt{32^2 + 7{,}5^2} = \sqrt{1080{,}25} = \dfrac{\sqrt{4321}}{2}\).
Ответ
Основание кладём на ось Ox, вершину ставим на высоте 15; положение вершины даёт два треугольника, а медианы считаются по формулам середины и расстояния.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».