Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XI, задание 1094

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ , $$AD > BC$$ ; $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ . Доказать: $MN = \dfrac{AD - BC}{2}$ .

Введём систему координат так, чтобы $$AD$$ лежало на оси $$Ox$$ , а его концы были симметричны относительно начала: $$A(-a; 0)$$ , $$D(a; 0)$$ , $$AD = 2a$$ . Основание $$BC$$ параллельно $$AD$$ , поэтому $$B(b; h)$$ , $$C(c; h)$$ , где $$c > b$$ , и $$BC = c - b$$ .
Середины диагоналей: $M\left(\dfrac{c - a}{2}; \dfrac{h}{2}\right)$ , $N\left(\dfrac{b + a}{2}; \dfrac{h}{2}\right)$ .
Ординаты равны, поэтому $MN = \left|\dfrac{b + a}{2} - \dfrac{c - a}{2}\right| = \dfrac{|2a - (c - b)|}{2} = \dfrac{AD - BC}{2}$ , так как $$AD > BC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: MN = (AD − BC)/2

Почему так

В удобной системе координат середины диагоналей имеют одинаковые ординаты, и расстояние между ними — разность абсцисс.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).