Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XI, задание 1095

Задача 1

Условие (кратко)

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина (AM² + CM²) − (BM² + DM²) имеет одно и то же значение.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$M$$ — любая точка. Доказать: $$(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2)$$ не зависит от $$M$$ .

Введём координаты: $$A(0; 0)$$ , $$D(a; 0)$$ , $$B(b; c)$$ . Так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ , то $$C(a + b; c)$$ . Пусть $$M(x; y)$$ .
По формуле расстояния: $$AM^2 = x^2 + y^2$$ , $$CM^2 = (x - a - b)^2 + (y - c)^2$$ , $$BM^2 = (x - b)^2 + (y - c)^2$$ , $$DM^2 = (x - a)^2 + y^2$$ .
В разности слагаемые $$y^2$$ и $$(y - c)^2$$ сокращаются: $$x^2 + (x - a - b)^2 - (x - b)^2 - (x - a)^2$$ .
Раскрываем скобки: $$x^2 + x^2 - 2(a + b)x + (a + b)^2 - x^2 + 2bx - b^2 - x^2 + 2ax - a^2 = (a + b)^2 - a^2 - b^2 = 2ab$$ .
Результат $$2ab$$ не содержит $$x$$ и $$y$$ , значит, он одинаков для всех точек $$M$$ .

Ответ

Утверждение доказано: величина равна 2ab при любом положении M

Почему так

После записи квадратов расстояний в координатах все слагаемые с координатами точки M взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).