Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XI, задание 1096

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите формулу медианы AA₁ = ½√(2AC² + 2AB² − BC²) и с её помощью — что треугольник с двумя равными медианами равнобедренный.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AA_1$$ — медиана; $$BC = a$$ , $$AC = b$$ , $$AB = c$$ . Доказать: $AA_1 = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ ; если две медианы равны, треугольник равнобедренный.

На продолжении медианы $$AA_1$$ за точку $$A_1$$ отложим $$A_1A_2 = AA_1$$ . В четырёхугольнике $$ABA_2C$$ диагонали $$AA_2$$ и $$BC$$ точкой $$A_1$$ делятся пополам, значит, это параллелограмм со сторонами $$c$$ и $$b$$ .
По задаче 1039 сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: $$AA_2^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$$ .
$$AA_2 = 2AA_1$$ , поэтому $$4AA_1^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$$ и $AA_1 = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ .
Аналогично медиана $BB_1 = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$ . Если $$AA_1 = BB_1$$ , то $$2b^2 + 2c^2 - a^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2$$ , откуда $$3b^2 = 3a^2$$ , $$a = b$$ , то есть $$BC = AC$$ и треугольник равнобедренный. Для любой другой пары медиан рассуждение то же.

Ответ

Утверждение доказано: 4AA₁² = 2AC² + 2AB² − BC², а из равенства двух медиан следует равенство двух сторон

Почему так

Достроение треугольника до параллелограмма и равенство суммы квадратов диагоналей сумме квадратов сторон дают формулу медианы.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).