Задание 1097

1. Введём координаты: \(A(0; 0)\), \(B(d; 0)\), \(M(x; y)\). Тогда \(AM^2 = x^2 + y^2\), \(BM^2 = (x - d)^2 + y^2\).

2. Условие: \(2x^2 + 2y^2 - (x^2 - 2dx + d^2 + y^2) = 2d^2\), то есть \(x^2 + 2dx + y^2 = 3d^2\).

3. Выделим полный квадрат: \((x + d)^2 + y^2 = 4d^2\).

4. Это окружность с центром \(B'(-d; 0)\) и радиусом \(2d\). Точка \(B'\) симметрична точке \(B\) относительно \(A\).

1. Введём координаты: \(A(0; 0)\), \(B(d; 0)\), \(M(x; y)\).

2. Условие: \(2(x^2 + y^2) + 2\left((x - d)^2 + y^2\right) = 6d^2\), то есть \(4x^2 - 4dx + 4y^2 + 2d^2 = 6d^2\), или \(x^2 - dx + y^2 = d^2\).

3. Выделим полный квадрат: \(\left(x - \dfrac{d}{2}\right)^2 + y^2 = d^2 + \dfrac{d^2}{4} = \dfrac{5d^2}{4}\).

4. Это окружность с центром в середине \(O\) отрезка \(AB\) и радиусом \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}d\).

Проверка: точка \(M\left(\dfrac{d}{2}; \dfrac{\sqrt{5}}{2}d\right)\) лежит на окружности; для неё \(AM^2 = BM^2 = \dfrac{d^2}{4} + \dfrac{5d^2}{4} = \dfrac{3d^2}{2}\), и \(2 \cdot \dfrac{3d^2}{2} + 2 \cdot \dfrac{3d^2}{2} = 6d^2\) — верно.

В ответах учебника указана окружность радиуса \(\dfrac{4}{3}AB\) с центром \(C\) на отрезке \(AB\), \(AC = \dfrac{2}{3}AB\). Такой ответ получается для условия \(AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2\), а для напечатанного условия верна окружность с центром в середине \(AB\).