Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XII, задание 1146

Задача 1

Условие (кратко)

В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки AE, EC, BC.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$AB = AC = b$$
$\angle A = 30^\circ$
$BE \perp AC$
$AD \perp BC$

Найти

$$BE$$
$$AD$$
$$AE$$
$$EC$$
$$BC$$

Угол $$A$$ острый, поэтому точка $$E$$ лежит на стороне $$AC$$ . В прямоугольном $\triangle ABE$ : $BE = AB\sin A = b\sin 30^\circ = \dfrac{b}{2}$ , $AE = AB\cos A = b\cos 30^\circ = \dfrac{b\sqrt{3}}{2}$ .
$EC = AC - AE = b - \dfrac{b\sqrt{3}}{2} = \dfrac{b}{2}(2 - \sqrt{3})$ .
По теореме косинусов $BC^2 = b^2 + b^2 - 2b^2\cos 30^\circ = b^2(2 - \sqrt{3})$ , значит, $BC = b\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .
В равнобедренном треугольнике высота $$AD$$ — также медиана и биссектриса, $\angle BAD = 15^\circ$ . Из $\triangle ABD$ : $AD^2 = AB^2 - BD^2 = b^2 - \dfrac{b^2(2 - \sqrt{3})}{4} = \dfrac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}$ , поэтому $AD = \dfrac{b}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

Ответ

BE = b/2, AD = (b/2)·√(2 + √3), AE = (b/2)·√3, EC = (b/2)·(2 − √3), BC = b·√(2 − √3)

Почему так

Высота BE и отрезок AE — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой b и углом 30°, основание BC — по теореме косинусов, высота AD — по теореме Пифагора.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).