Какой набор данных НЕ позволяет решить треугольник однозначно?

Сторона и два прилежащих к ней угла

Даны стороны a, b и угол C между ними. Что находят первым?

Сторону c по теореме косинусов

Угол A по теореме синусов

Угол B как 180° − ∠C

Площадь треугольника

Даны две стороны треугольника и угол, лежащий против одной из них. Какие утверждения верны?

Задача может иметь два решения

Задача может не иметь решения

Если угол лежит против большей из данных сторон, решение одно

Решение всегда единственное

Решение треугольников — 9 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Решить треугольник — найти все три стороны и все три угла по трём данным элементам, которые его задают. Главные инструменты — теорема синусов и теорема косинусов:

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}, \qquad a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Так на практике измеряют высоты и расстояния до недоступных точек.

Подробное объяснение

Как измерить ширину реки, не переплывая её? Или высоту башни, к которой не подойти? Можно построить на местности треугольник, измерить в нём то, что доступно, — одну сторону и пару углов, — а остальное вычислить. Это и есть решение треугольника.

Что значит «решить треугольник»

У треугольника шесть элементов: три стороны $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ и три угла $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ (сторона $$a$$ лежит против угла $$A$$ и так далее). Если известны три элемента, задающие треугольник, остальные три можно вычислить. Подходят те же наборы, что в признаках равенства треугольников. А вот три угла треугольник не задают — они определяют только форму, но не размер.

Три основные задачи

1. Две стороны и угол между ними ( $$a$$ , $$b$$ , $\angle C$ ):

сторону $$c$$ находим по теореме косинусов, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ ;
угол $$A$$ — тоже по теореме косинусов, $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ ;
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$ .

2. Сторона и два прилежащих угла ( $$a$$ , $\angle B$ , $\angle C$ ):

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C$ ;
по теореме синусов $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$ , $c = \dfrac{a \sin C}{\sin A}$ .

3. Три стороны ( $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ ):

два угла находим по теореме косинусов через их косинусы;
третий угол — по сумме углов.

Углы по значению синуса или косинуса находят калькулятором (клавиши $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ ) или по таблицам. Ответ обычно округляют до минут: $37{,}99^\circ \approx 37^\circ 59'$ , ведь $0{,}99 \cdot 60 \approx 59$ .

Осторожно: угол не между сторонами

Если даны две стороны и угол против одной из них, теорема синусов даёт синус второго угла. Но одному синусу соответствуют два угла: острый $\varphi$ и тупой $180^\circ - \varphi$ . Если данный угол лежит против большей из двух сторон, подходит только острый — решение одно. Иначе может быть два решения или ни одного (если синус получился больше 1). Каждый вариант проверяйте: сумма двух углов должна быть меньше $180^\circ$ .

Измерительные работы

Высота предмета с доступным основанием. Отойдём от основания $$H$$ на расстояние $$a$$ и измерим угол $\alpha$ , под которым видна вершина. Тогда высота $h = a \tg \alpha$ .

Высота с недоступным основанием. На прямой, идущей к предмету, отметим точки $$C$$ и $$B$$ на расстоянии $$a$$ друг от друга и измерим углы $\alpha$ (из ближней точки $$B$$ ) и $\beta$ (из дальней точки $$C$$ ).

Вертикальный отрезок AH — высота предмета. На прямой CH отмечены точки C и B на расстоянии a; из B вершина A видна под углом α, из C — под углом β, угол при A в треугольнике ABC равен α − β. — По теореме синусов AB = a sin β / sin(α − β), затем AH = AB sin α.

Угол $\alpha$ — внешний для треугольника $$ABC$$ , поэтому угол при вершине предмета $$A$$ равен $\alpha - \beta$ . По теореме синусов $AB = \dfrac{a \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)}$ , а высота

AH = AB \sin \alpha = \dfrac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)}.

Расстояние до недоступной точки. Чтобы найти расстояние $$d$$ от пункта $$A$$ до пункта $$C$$ на другом берегу, отмерим базу $$AB = c$$ и измерим углы $\alpha$ при $$A$$ и $\beta$ при $$B$$ . Тогда $\angle C = 180^\circ - \alpha - \beta$ и по теореме синусов $d = \dfrac{c \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$ .

Как решать задачи

Сделайте чертёж и отметьте, какие три элемента известны.
Определите тип задачи: две стороны и угол между ними, сторона и два угла, три стороны или две стороны и угол не между ними.
Если известны два угла — сразу найдите третий.
Сторону против известного угла при известной паре «сторона — противолежащий угол» ищите теоремой синусов, остальное — теоремой косинусов.
Углы округляйте до минут, стороны — до разумной точности. Проверьте, что против большей стороны лежит больший угол.

Разобранные примеры

База

Две стороны и угол между ними

Условие

Решите треугольник $$ABC$$ , если $$a = 5$$ , $$b = 8$$ , $\angle C = 60^\circ$ .

Дано

$$a = 5$$
$$b = 8$$
$\angle C = 60^\circ$

Найти

$$c$$
$\angle A$
$\angle B$

Решение

По теореме косинусов $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 49$ , $$c = 7$$ .
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{64 + 49 - 25}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \dfrac{88}{112} \approx 0{,}7857$ , $\angle A \approx 38^\circ 13'$ .
$\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 38^\circ 13' = 81^\circ 47'$ .

Ответ: c = 7, ∠A ≈ 38°13′, ∠B ≈ 81°47′

Средний

Три стороны

Условие

Найдите углы треугольника со сторонами $$a = 4$$ , $$b = 5$$ , $$c = 6$$ .

Дано

$$a = 4$$
$$b = 5$$
$$c = 6$$

Найти

$\angle A$
$\angle B$
$\angle C$

Решение

$\cos A = \dfrac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{45}{60} = 0{,}75$ , $\angle A \approx 41^\circ 25'$ .
$\cos B = \dfrac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{27}{48} = 0{,}5625$ , $\angle B \approx 55^\circ 46'$ .
$\angle C = 180^\circ - 41^\circ 25' - 55^\circ 46' = 82^\circ 49'$ . Против наибольшей стороны 6 — наибольший угол, всё сходится.

Ответ: ∠A ≈ 41°25′, ∠B ≈ 55°46′, ∠C ≈ 82°49′

Сложный

Расстояние до маяка

Условие

На острове стоит маяк $$C$$ . На берегу отмерили отрезок $$AB = 200$$ м и измерили углы $\angle CAB = 70^\circ$ и $\angle CBA = 65^\circ$ . Найдите расстояние от $$A$$ до маяка.

Дано

$$AB = 200$$ м
$\angle A = 70^\circ$
$\angle B = 65^\circ$

Найти

$$AC$$

Решение

$\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 65^\circ = 45^\circ$ .
По теореме синусов $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$ , откуда

AC = \dfrac{200 \sin 65^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \dfrac{200 \cdot 0{,}9063}{0{,}7071} \approx 256 \text{ м}.

Ответ: ≈ 256 м

Типичные ошибки

Находят угол по синусу и забывают о тупом угле

Почему неверно

Калькулятор по синусу всегда выдаёт острый угол. Но $\sin 40^\circ = \sin 140^\circ$ , и в треугольнике может оказаться именно тупой угол. Так теряют второе решение или получают неверное единственное.

Как правильно

Угол по синусу ищите, только если ясно, что он острый (лежит против меньшей стороны). Иначе рассмотрите оба варианта $\varphi$ и $180^\circ - \varphi$ или находите угол по косинусу — косинус различает острые и тупые углы.

Округляют промежуточные результаты слишком грубо

Почему неверно

Если сторону 14,7 округлить до 15, а потом по ней считать площадь, ошибка вырастет: вместо 85 получится 87. В цепочке вычислений ошибки накапливаются.

Как правильно

В промежуточных шагах держите 3–4 значащие цифры, а округляйте только окончательный ответ.

Неправильно переводят доли градуса в минуты

Почему неверно

$37{,}32^\circ$ — это не $37^\circ 32'$ . В градусе 60 минут, а не 100.

Как правильно

Умножьте дробную часть на 60: $0{,}32 \cdot 60 \approx 19$ , значит, $37{,}32^\circ \approx 37^\circ 19'$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Решите треугольник $$ABC$$ , если $$a = 10$$ , $\angle B = 40^\circ$ , $\angle C = 80^\circ$ .

Подсказка

Сначала найдите угол $$A$$ , затем стороны по теореме синусов.

Решение

$\angle A = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ$ . По теореме синусов $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A} = \dfrac{10 \cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 7{,}42$ , $c = \dfrac{a \sin C}{\sin A} = \dfrac{10 \cdot 0{,}9848}{0{,}8660} \approx 11{,}37$ .

Ответ

∠A = 60°, b ≈ 7,42, c ≈ 11,37

База Задача 2

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 6 см, угол между ними $40^\circ$ . Найдите основание и углы при основании.

Подсказка

Основание найдите по теореме косинусов, углы при основании равны.

Решение

$c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cos 40^\circ = 72(1 - 0{,}7660) \approx 16{,}85$ , $c \approx 4{,}1$ см. Углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ .

Ответ

Основание ≈ 4,1 см, углы при основании 70°

Средний Задача 3

Найдите углы треугольника со сторонами 7, 9 и 12. Ответ дайте в градусах и минутах.

Подсказка

Найдите два угла по теореме косинусов, третий — по сумме углов.

Решение

Против стороны 7 лежит угол с косинусом $\dfrac{81 + 144 - 49}{2 \cdot 9 \cdot 12} = \dfrac{176}{216} \approx 0{,}8148$ , он равен примерно $35^\circ 26'$ . Против стороны 9 — угол с косинусом $\dfrac{49 + 144 - 81}{2 \cdot 7 \cdot 12} = \dfrac{112}{168} \approx 0{,}6667$ , примерно $48^\circ 11'$ . Третий угол равен $180^\circ - 35^\circ 26' - 48^\circ 11' = 96^\circ 23'$ .

Ответ

≈ 35°26′, ≈ 48°11′, ≈ 96°23′

Средний Задача 4

От основания дерева отошли на 20 м и увидели его верхушку под углом $35^\circ$ к горизонту. Какова высота дерева? Рост наблюдателя не учитывайте.

Подсказка

Высота — катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу $35^\circ$ .

Решение

$h = 20 \tg 35^\circ \approx 20 \cdot 0{,}7002 \approx 14{,}0$ м.

Ответ

≈ 14 м

Сложный Задача 5

Чтобы найти расстояние от точки $$A$$ до точки $$C$$ на другом берегу, отмерили $$AB = 100$$ м и измерили $\angle A = 50^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ . Найдите $$AC$$ .

Подсказка

Найдите угол $$C$$ и примените теорему синусов.

Решение

$\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ . По теореме синусов $AC = \dfrac{AB \sin B}{\sin C} = \dfrac{100 \cdot 0{,}8660}{0{,}9397} \approx 92{,}2$ м.

Ответ

≈ 92,2 м

Сложный Задача 6

Основание башни недоступно. На прямой, идущей к башне, отметили точки $$C$$ и $$B$$ на расстоянии 30 м друг от друга ( $$B$$ ближе к башне). Из $$B$$ вершина видна под углом $45^\circ$ к горизонту, из $$C$$ — под углом $30^\circ$ . Найдите высоту башни.

Подсказка

В треугольнике $$ABC$$ угол при вершине башни равен $45^\circ - 30^\circ$ ; найдите $$AB$$ по теореме синусов.

Решение

Угол $ABH = 45^\circ$ — внешний для треугольника $$ABC$$ , поэтому $\angle BAC = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$ . По теореме синусов $AB = \dfrac{30 \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} \approx \dfrac{15}{0{,}2588} \approx 57{,}96$ м. Высота $AH = AB \sin 45^\circ \approx 57{,}96 \cdot 0{,}7071 \approx 41$ м.

Ответ

≈ 41 м

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Выйдите во двор и предложите измерить высоту дерева или дома, не залезая на него. Отойдите на 10–20 шагов, измерьте расстояние рулеткой, а угол на вершину — приложением-транспортиром на телефоне. Высота равна расстоянию, умноженному на тангенс угла (плюс рост до уровня глаз). Так работают геодезисты, только с точными приборами. Вопросы для проверки понимания: 1) Какие три элемента задают треугольник, а какие — нет? 2) Какую теорему применить, если известны три стороны? 3) Почему по синусу угол может определиться неоднозначно? На что обратить внимание. Проверьте, что ребёнок умеет пользоваться калькулятором в режиме градусов (DEG, а не RAD) и переводит доли градуса в минуты умножением на 60.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 107	1114, 1117, 1123
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 108	1125, 1126, 1127