Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1147

Дополнительные задачи к главе XII

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$BC = 4{,}125$$ м
$\angle B = 44^\circ$
$\angle C = 72^\circ$

Найти

$S_{ABC}$

$\angle A = 180^\circ - 44^\circ - 72^\circ = 64^\circ$ .
По теореме синусов $AB = \dfrac{BC\sin C}{\sin A} = \dfrac{4{,}125 \cdot \sin 72^\circ}{\sin 64^\circ} \approx \dfrac{4{,}125 \cdot 0{,}9511}{0{,}8988} \approx 4{,}365$ м.
По теореме о площади треугольника $S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC\sin B \approx \dfrac{1}{2} \cdot 4{,}365 \cdot 4{,}125 \cdot 0{,}6947 \approx 6{,}254$ м².

Ответ

S ≈ 6,254 м²

Почему так

Сначала по теореме синусов находят вторую сторону, затем площадь — как половину произведения двух сторон на синус угла между ними.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$BC = 4100$$ м
$\angle A = 32^\circ$
$\angle C = 120^\circ$

Найти

$S_{ABC}$

$\angle B = 180^\circ - 32^\circ - 120^\circ = 28^\circ$ .
По теореме синусов $AC = \dfrac{BC\sin B}{\sin A} = \dfrac{4100 \cdot \sin 28^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 3632{,}3$ м.
$S = \dfrac{1}{2}BC \cdot AC\sin C \approx \dfrac{1}{2} \cdot 4100 \cdot 3632{,}3 \cdot \sin 120^\circ \approx 6\,448\,600$ м², то есть около $$6{,}45$$ км².

В ответах учебника указано $\approx 6\,449\,073$ м²: разница меньше одной десятитысячной и возникает из-за округления синусов по таблице.

Ответ

S ≈ 6 448 600 м² (≈ 6,45 км²)

Почему так

Третий угол находят по сумме углов, вторую сторону — по теореме синусов, площадь — по двум сторонам и углу между ними.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-12/upr-1147/